Equazioni scomponibili in fattori

Quando si incontrano equazioni di grado superiore al secondo, una buona strategia di risoluzione è tentare di scomporre il polinomio al primo membro in fattori, riconducendosi così ad equazioni di secondo grado. Spesso è possibile scomporre il polinomio mediante la regola di Ruffini, come illustrato nel seguente:

Esempio

Si risolva l’equazione

x³ − 7x + 6 = 0

L’equazione da risolvere è di terzo grado. Possiamo scomporre il polinomio che costituisce il primo membro mediante la regola di Ruffini.

Esso, in tal modo, diventa

x³ − 7x + 6 = (x − 1)(x² + x − 6) = 0.

Per la legge  di annullamento del prodotto, affinchè  tale prodotto sia nullo deve essere x − 1 = 0 oppure x² + x − 6 = 0. La prima equazione ha come soluzione x = 1, la seconda è un’equazione di secondo grado, le cui soluzioni sono x = −3 e x = 2.

Per la risoluzione di equazioni di questo tipo, possono essere utili le seguenti proposizioni.

Proposizione 1

Il binomio xⁿ − aⁿ è divisibile per x − a e risulta:

Se n è pari, xⁿ − aⁿ è divisibile anche per x + a.

 

Proposizione 2

Il binomio xⁿ + aⁿ è divisibile per x + a se n è dispari e risulta:

e n è pari, xⁿ + aⁿ non è divisibile né per x + a né per x − a

 

Equazioni reciproche

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L’equazione P(x) = 0, in cui P(x) è un polinomio ordinato secondo le potenze di x, è reciproca se i coefficienti dei termini estremi e quelli dei termini equidistanti da questi sono uguali o opposti.

Nel primo caso, l’equazione è reciproca di prima specie, nel secondo caso l’equazione è reciproca di seconda specie.
La caratteristica di questo tipo di equazioni è che le soluzioni sono tra loro reciproche, vale a dire:

se x = k è una soluzione, certamente lo è anche x = 1/k.

In particolare, un’equazione reciproca di terzo grado ha sempre come soluzioni x = −1 se è di prima specie, x = +1 se è di seconda specie e poi due soluzioni tra loro reciproche.

Esempio 1

Si risolva la seguente equazione:

3x³ + 13x² + 13x + 3 = 0

Si tratta di un’equazione di terzo grado reciproca di prima specie.

Per quanto detto, x = −1 è certamente uno zero del polinomio 3x³+13x²+13x+3; è facile infatti verificare che, sostituendo x = −1 nell’equazione, essa è soddisfatta.

Mediante la regola di Ruffini, possiamo dunque scomporre il polinomio e l’equazione di partenza si riscrive come (x +1)(3x² + 10x+ 3) = 0. Mediante la legge di annullamento del prodotto, otteniamo una soluzione x = 1, come previsto, e due soluzioni x = −3 e x = −1/3 che sono per l’appunto l’una reciproca dell’altra.

Esempio 2

Si risolva la seguente equazione:

2x³ − 7x² + 7x − 2 

Si tratta di un’equazione di terzo grado reciproca di seconda specie.
Dunque, x = 1 è certamente uno zero del polinomio 2x³ −7x² + 7x−2, dunque una soluzione dell’equazione. Scomponendo il polinomio con la regola di Ruffini, si ha (x − 1)(2x² − 5x + 2) = 0 e, utilizzando la legge di annullamento del prodotto, otteniamo come soluzioni, oltre
x = −1, x = 2 e x =1/2, che sono per l’appunto una reciproca dell’altra.

Equazioni reciproche di quarto grado

Per le equazioni reciproche di quarto grado, la distinzione tra quelle di prima e di seconda specie è fondamentale, in quanto sono previste due risoluzioni tipiche diverse per ciascuna di esse.

Vediamole in dettaglio con degli esempi.

Esempio 3

Si risolva la seguente equazione:

3x⁴ − 10x³ + 10x − 3 = 0

Questa è un’equazione reciproca di quarto grado di seconda specie.

E’ possibile scomporre questo tipo di equazione utilizzando due volte la regola di Ruffini.

A tal riguardo, x = 1 ed x = −1 sono due zeri del polinomio 3x⁴−10x³+10x−3 e questo è vero sempre per un’equazione reciproca di quarto grado di seconda specie.

Applicando una prima volta la regola di Ruffini, si ha

3x⁴ − 10x³ +10x − 3 = (x − 1)(3x³ − 7x² − 7x + 3);

applicandola una seconda volta al polinomio (3x³−7x²−7x+3), si ottiene

(x−1)(3x³−7x²−7x+3) =(x−1)(x+1)(3x²−10x+3).

Pertanto, l’equazione (x−1)(x+1)(3x²−10x+3) = 0 si risolve mediante la legge di annullamento del prodotto e le soluzioni, oltre x = ±1,

sono x =1/3    e x = 3, l’una reciproca dell’altra.
Pertanto, le equazioni reciproche di quarto grado di seconda specie hanno come soluzioni x = ±1 e altre due, l’una reciproca dell’altra.

Esempio 4

Si risolva la seguente equazione:

6x⁴ − 5x³ − 38x² − 5x + 6 = 0

questa è un’equazione reciproca di quarto grado di prima specie.

E’ possibile risolvere questo tipo di equazione dividendo tutti i termini per x², con x ≠ 0, e poi raccogliendo in essa i coefficienti uguali:

Possiamo pertanto sostituire queste espressioni nell’equazione, che diventa
6z² − 5z − 50 = 0, dunque un’equazione di secondo grado, le cui soluzioni sono z = −5/2 e z =10/3.

Pertanto,

Le soluzioni di queste equazioni sono, rispettivamente, x = −2 e x = −1/2, x = 3 e x =1/3.

 

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