Uno studio di funzione con il coseno iperbolico. Tema d’esame

Esercizio

Si consideri la funzione

f(x)=2log (cosh (3x)) − 6x

(a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie. Non è richiesto lo studio del segno di f.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f.
(c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. Calcolare i limiti di f ‘ , se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non è richiesto lo studio della convessità.

Soluzione

(a)

La funzione è definita su tutto R.

Osservato che

f( − x)=2log (cosh (3x)) + 6x = f(x) + 12x

possiamo concludere che f(x) non presenta simmetrie.

(b)

Per calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti, osserviamo che possiamo riscrivere f(x) nella forma

Ora i limiti agli estremi del dominio sono:

da cui possiamo concludere che la retta di equazione y = − 2log 2 è asintoto orizzontale destro.
Inoltre

Asintoto obliquo

da cui possiamo concludere che la retta di equazione y = − 12x − 2log 2 è asintoto obliquo sinistro.

(c)

La derivata prima

La funzione è continua e derivabile in R e la sua derivata prima è

oppure, usando la prima delle formulazioni equivalenti di f,

 

ed è sempre strettamente negativa (ricordiamo: − 1 < tanh y < 1 ∀y ∈ R).

In conclusione la funzione è monotona strettamente decrescente su tutto R.

Il grafico

(235)

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