Biancaneve e la logica

A proposito di nani sinceri e nani bugiardi…

A  seconda della giornata, alcuni dei sette nani dicono la verità e gli altri invece mentono.

• Un giorno, Brontolo, Cucciolo e Dotto aiutano Biancaneve a preparare il pranzo. «Oggi siamo tutti e tre bugiardi» dice Dotto, ma Brontolo lo smentisce affermando: « Soltanto uno di noi tre oggi è sincero ».

Com’è in realtà oggi ciascuno di questi tre nani?

• Il giorno dopo, Dotto afferma « Oggi siamo tutti e tre sinceri » e Brontolo lo smentisce con la stessa frase del giorno precedente!

Come sono Cucciolo e Dotto?

• Il terzo giorno, Dotto afferma «Soltanto uno di noi tre oggi è bugiardo» e, per la terza volta, Brontolo lo smentisce con la sua solita frase!

Come sono Cucciolo e Dotto?

• Il quarto giorno, stanco di essere sempre smentito da Brontolo, Dotto lo accusa «Brontolo oggi è bugiardo» e Brontolo questa volta ribatte: «Cucciolo e Dotto oggi sono dello stesso genere».

Com’è Cucciolo?

• Il quinto giorno, ci sono tutti e sette ad aiutare Biancaneve. Brontolo: «Oggi soltanto uno di noi è bugiardo!» Dotto: «Oggi esattamente due di noi sono bugiardi!» Eolo: «Oggi esattamente tre di noi sono bugiardi!» Gongolo: «Oggi esattamente quattro di noi sono bugiardi!» Mammolo: «Oggi esattamente cinque di noi sono bugiardi!» Pisolo: «Oggi esattamente sei di noi sono bugiardi!» Cucciolo resta muto.

Com’è ciascuno di loro?

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Soluzione

Anzitutto è evidente che, in ognuno dei primi tre giorni, le due frasi pronunciate da Dotto e da Brontolo non possono essere entrambe vere, cioè sono in contraddizione.

Primo giorno:

Brontolo è sincero, mentre Cucciolo e Dotto sono bugiardi. Dotto è certamente bugiardo; infatti non può essere sincero comprendendo sé stesso tra i bugiardi. Quindi, Dotto compreso, i bugiardi devono essere o uno o due. Se Brontolo mentisse, i bugiardi sarebbero due (lui e Dotto): ma allora direbbe la verità! Pertanto Brontolo deve essere sincero, e i due bugiardi sono necessariamente
Dotto e Cucciolo.

Secondo giorno:

Cucciolo e Dotto sono di nuovo bugiardi, di Brontolo non si può dir nulla. Dotto non può dire il vero, perché altrimenti anche Brontolo sarebbe sincero; ma, come abbiamo già osservato, la sua affermazione e quella di Dotto non possono essere entrambe vere. Brontolo di nuovo afferma che i bugiardi sono due: se questo è vero, allora i bugiardi sono Dotto e Cucciolo; altrimenti tutti e tre i nani sono bugiardi. Quindi di sicuro Cucciolo è bugiardo.

Terzo giorno:

Cucciolo e Dotto sono o entrambi bugiardi o entrambi sinceri; nel primo caso di Brontolo non si può dir nulla, nel secondo caso Brontolo deve essere bugiardo.
Si noti che qui le frasi pronunciate da Dotto e da Brontolo non possono che avere valori di verità diversi. Se è vero ciò che dice Dotto, allora Brontolo è bugiardo, e quindi Cucciolo non è come Dotto, ossia è bugiardo. Se invece quel che dice Dotto è falso, allora Brontolo è sincero, e quindi Cucciolo è come Dotto, ossia è bugiardo.

Quarto giorno:

Cucciolo è certamente bugiardo, degli altri due si può dire soltanto che uno è sincero e l’altro è bugiardo.

Quinto giorno:

al più una delle sei affermazioni può essere vera, e quindi i bugiardi sono almeno cinque. Ne segue immediatamente che Brontolo, Dotto, Eolo e Gongolo sono bugiardi per forza. Se Mammolo è sincero (i bugiardi sono proprio cinque), allora Pisolo è bugiardo e Cucciolo, sebbene taccia, deve essere sincero.
Se invece Mammolo è bugiardo, allora Cucciolo deve essere pure bugiardo, mentre di Pisolo non si può dire nulla: se Pisolo è sincero, allora è proprio lui l’unico sincero, altrimenti tutti e sette i nani sono bugiardi (ammesso che possa darsi questa eventualità).

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