Calcolo combinatorio. Esercizi svolti sulle combinazioni semplici

Prima, qualche richiamo di teoria

Combinazioni semplici

Dati n oggetti a₁, a₂, · · · , a_n ed un numero intero k ∈ n, si dice combinazione semplice di classe k un insieme di k oggetti scelti dagli n oggetti disponibili. In altre parole le combinazioni di classe k non sono altro che i k-sottoinsiemi di {a₁, a₂, . . . , a_n}. Due combinazioni sono distinte se differiscono per qualche elemento. Il numero di combinazioni semplici di n oggetti di classe k si indica con C_n,k.

Esempio

Le combinazioni semplici di classe 3 dei 5 oggetti a, b, c, d, e sono:

abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde

Teorema

Il numero di combinazioni semplici di n oggetti di classe k è dato da:

 

Esercizio 1

In quanti modi si possono scegliere 2 rappresentanti da una classe di 23 alunni.

Soluzione

Si tratta di contare quanti sono i 2-sottoinsiemi di un insieme di 23 elementi:

Esercizio 2

Dire in quanti modi, nel gioco del poker (giocando in 4 persone), si può avere:
(1) un doppia coppia servita;
(2) una tris servito;
(3) un poker servito.

Soluzione

Doppia coppia servita:

Due coppie distinte, e la quinta carta diversa

Tris servito:

Tre carte dello stesso valore, e le altre due diverse

Poker servito :

Quattro carte uguali

Esercizio 3

I sottoinsiemi di {a, b, c, d, e} aventi un numero dispari di elementi sono?

Soluzione

Esercizio 4

Quante commissioni di 7 persone con un Presidente possono essere scelte da un insieme di 21 persone?

Soluzione

Sette persone possono esser scelte in

modi, tra queste il Presidente può esser scelto in 7 modi.

Dunque il numero richiesto è:

Esercizio 5

Quante commissioni di 7 persone con un Presidente e un Segretario possono esser scelte da un insieme di 20 persone?

Soluzione

Procedendo in modo simile al precedente esercizio, il numero richiesto è:

Esercizio 6

Quanti dei numeri

100, 101, · · · , 999

hanno tre cifre diverse in ordine crescente o in ordine decrescente?

Soluzione

I numeri con le cifre in ordine decrescente sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi di cardinalità 3 di {0, 1, . . . , 9}.

Essi sono

I numeri con le cifre in ordine crescente sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi di cardinalità 3 di {1, 2, . . . , 9}.

Essi sono

Per la regola della somma il numero richiesto è: 120 + 84 = 204.

Esercizio 7

In una classe vi sono 20 studenti. In quanti modi si possono assegnare 5 test differenti, con la condizione che ogni test deve essere assegnato a 4 studenti ?

Soluzione

Possiamo scegliere gli studenti che devono svolgere il primo test in

modi, dai rimanenti possiamo sceglierne altri 4 per il secondo test in

modi, e così via.

Dunque, il numero richiesto è:

(1523)

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