Economia del benessere: 6 esercizi svolti su Rawls, Nash, Arrow e Kaldor-Hicks

 

Come possiamo stabilire se una società sta meglio di un’altra?

In economia la risposta non dipende soltanto dalla quantità di beni e servizi prodotti, dal reddito complessivo o dal livello di efficienza raggiunto dal sistema produttivo, perché occorre considerare anche il modo in cui le risorse vengono distribuite e gli effetti che le decisioni economiche producono sulle condizioni dei singoli individui.

Immaginiamo che un governo debba decidere se finanziare una nuova infrastruttura, costruire un ospedale in una zona periferica oppure introdurre una politica di sostegno al reddito. Ogni intervento produce conseguenze differenti: alcune imprese possono ottenere nuovi ricavi, determinati gruppi di cittadini possono beneficiare di servizi migliori, mentre altri soggetti potrebbero sostenere costi economici o subire una riduzione delle proprie opportunità.

Anche quando il beneficio complessivo supera i costi, non è detto che tutti migliorino la propria condizione. Una nuova infrastruttura potrebbe aumentare la produttività di un territorio e contemporaneamente penalizzare le attività commerciali situate nelle aree interessate dai lavori; una politica fiscale potrebbe aumentare il reddito disponibile di alcune famiglie e ridurre quello di altre.

Il problema economico consiste quindi nel capire secondo quale criterio possiamo confrontare queste situazioni e stabilire quale distribuzione delle risorse sia preferibile.

L’economia del benessere studia proprio le relazioni tra allocazione delle risorse, utilità individuali, efficienza economica e distribuzione del benessere. Attraverso strumenti matematici e modelli di scelta collettiva, permette di analizzare situazioni nelle quali gli interessi individuali non coincidono e le decisioni pubbliche producono vantaggi e svantaggi distribuiti in modo diseguale.

In questa lezione affronteremo tre nuclei fondamentali: le funzioni di benessere sociale, che trasformano le condizioni individuali in una valutazione collettiva; il teorema di impossibilità di Arrow, che evidenzia i limiti delle regole di aggregazione delle preferenze; i criteri di compensazione di Kaldor-Hicks e Scitovsky, utilizzati per valutare l’efficienza potenziale dei progetti e delle politiche pubbliche.

Attraverso sei esercizi svolti applicheremo le principali formule, confronteremo risultati differenti e analizzeremo le ipotesi che rendono possibile ciascun modello.

---

Le funzioni di benessere sociale: come valutare il benessere collettivo

Una funzione di benessere sociale (FBS) è una relazione matematica che associa alle utilità individuali un indice complessivo, generalmente indicato con [math]W[/math].

In un’economia composta da [math]n[/math] individui, possiamo rappresentarla nella forma:

[math]W=F(u_1,u_2,\ldots,u_n)[/math]

dove [math]u_i[/math] rappresenta il livello di utilità dell’individuo [math]i[/math].

La funzione consente di confrontare diverse allocazioni delle risorse, attribuendo un valore collettivo alle condizioni individuali. La scelta della sua forma matematica non è neutrale, perché determina quali aspetti della distribuzione vengono considerati più importanti.

Due società possono infatti avere lo stesso benessere complessivo secondo un determinato criterio, ma presentare distribuzioni molto differenti. Una funzione additiva, per esempio, può considerare equivalenti una società caratterizzata da forti disuguaglianze e una società nella quale le utilità sono distribuite in modo uniforme.

Per comprendere queste differenze, analizziamo tre funzioni di benessere particolarmente importanti.

L’utilitarismo classico: massimizzare la somma delle utilità

La funzione utilitarista classica, associata alla tradizione filosofica di Jeremy Bentham, assume che il benessere sociale dipenda dalla somma delle utilità individuali:

[math]\boxed{W_U=\sum_{i=1}^{n}u_i}[/math]

Il criterio consiste nel massimizzare il benessere complessivo, attribuendo lo stesso peso formale a ciascuna unità di utilità individuale.

Consideriamo due società, ciascuna composta da due persone:

Società	Utilità del primo individuo	Utilità del secondo individuo	Benessere totale
A	100	10	110
B	55	55	110

Secondo l’utilitarismo classico:

[math]W_U(A)=100+10=110[/math]

[math]W_U(B)=55+55=110[/math]

Le due società risultano equivalenti, perché la somma delle utilità individuali è identica.

La distribuzione è però molto diversa: nella società A esiste una forte disuguaglianza, mentre nella società B i due individui presentano lo stesso livello di utilità.

L’esempio evidenzia una caratteristica della funzione additiva: quando la somma rimane invariata, il criterio non distingue tra distribuzioni differenti.

Questo non significa che l’utilitarismo sia necessariamente contrario alla redistribuzione delle risorse. In presenza di utilità marginale decrescente del reddito, per esempio, un trasferimento dai soggetti più ricchi a quelli meno abbienti può aumentare la somma delle utilità. Il risultato dipende però dalle funzioni di utilità adottate e dalle ipotesi del modello.

L’utilitarismo ponderato: attribuire pesi differenti alle utilità

Una variante della funzione precedente introduce pesi distributivi:

[math]\boxed{W_{U,\alpha}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i u_i}[/math]

dove [math]\alpha_i[/math] rappresenta il peso attribuito all’utilità dell’individuo [math]i[/math].

Quando tutti i pesi sono uguali a uno, ritroviamo l’utilitarismo classico. Se invece alcuni individui ricevono un peso maggiore, la funzione attribuisce loro una maggiore importanza nella valutazione collettiva.

Supponiamo, per esempio, che una politica pubblica assegni un peso doppio all’utilità di un individuo appartenente a una fascia economicamente svantaggiata. Un intervento redistributivo potrebbe risultare preferibile anche quando non massimizza la somma semplice delle utilità.

I pesi non sono parametri puramente tecnici, perché esprimono una scelta normativa relativa alla distribuzione del benessere. La loro determinazione deve quindi essere motivata e resa esplicita.

Occorre inoltre ricordare che il confronto tra utilità individuali richiede ipotesi sulla loro misurazione e comparabilità, che non possono essere date per scontate.

Il criterio di Rawls: massimizzare il benessere del meno avvantaggiato

Una rappresentazione matematica semplificata del criterio maximin associato a John Rawls è:

[math]\boxed{W_R=\min(u_1,u_2,\ldots,u_n)}[/math]

Il benessere sociale viene identificato con il livello di utilità dell’individuo che si trova nella condizione peggiore. La scelta collettiva deve quindi privilegiare l’allocazione che rende il più elevato possibile il valore minimo delle utilità.

Riprendiamo le due società precedenti:

[math]W_R(A)=\min(100,10)=10[/math]

[math]W_R(B)=\min(55,55)=55[/math]

Secondo il criterio maximin, la società B è preferibile perché garantisce una condizione migliore all’individuo meno avvantaggiato.

La differenza rispetto all’utilitarismo è significativa: un incremento del benessere di chi possiede già un’utilità elevata non migliora direttamente il valore della funzione di Rawls se la posizione del soggetto più svantaggiato rimane invariata.

È importante precisare che la funzione del minimo costituisce una rappresentazione didattica del criterio maximin, ma non coincide con l’intera teoria della giustizia di Rawls. Il principio di differenza riguarda infatti la distribuzione dei beni sociali primari e stabilisce che le disuguaglianze economiche e sociali devono essere organizzate in modo da risultare a vantaggio dei membri meno favoriti della società, nel rispetto degli altri principi di giustizia.

La funzione di Nash: il prodotto delle utilità individuali

Un’altra funzione utilizzata nell’economia del benessere è quella di Nash:

[math]\boxed{W_N=\prod_{i=1}^{n}u_i}[/math]

Nel caso di due individui:

[math]W_N=u_Au_B[/math]

La funzione moltiplicativa considera contemporaneamente le utilità di tutti gli individui e risulta particolarmente sensibile ai livelli molto bassi.

Riprendiamo le due società iniziali:

[math]W_N(A)=100\cdot10=1000[/math]

[math]W_N(B)=55\cdot55=3025[/math]

La società B presenta un valore nettamente superiore.

A parità di somma delle utilità, infatti, il prodotto raggiunge il massimo quando le utilità sono uguali. Consideriamo una somma costante:

[math]u_A+u_B=c[/math]

Possiamo scrivere:

[math]u_B=c-u_A[/math]

Il prodotto diventa:

[math]W_N=u_A(c-u_A)[/math]

Derivando rispetto a [math]u_A[/math]:

[math]\frac{dW_N}{du_A}=c-2u_A[/math]

Ponendo la derivata uguale a zero:

[math]c-2u_A=0[/math]

[math]u_A=\frac{c}{2}[/math]

Di conseguenza:

[math]u_B=\frac{c}{2}[/math]

La seconda derivata è negativa:

[math]\frac{d^2W_N}{du_A^2}=-2<0[/math]

Il punto individuato è quindi un massimo.

A somma costante, il prodotto delle due utilità è massimo quando la distribuzione è equilibrata.

È necessaria una precisazione teorica: il prodotto delle utilità dipende dalla scala di misurazione adottata e non rimane invariato sotto trasformazioni affini arbitrarie delle utilità individuali. Per questo motivo, il suo impiego richiede una normalizzazione coerente. Nel problema di contrattazione di Nash, per esempio, si massimizza il prodotto delle utilità in eccesso rispetto ai livelli di disaccordo.

La funzione di Nash utilizzata in questo confronto non deve quindi essere confusa con la funzione del problema di contrattazione di Nash, anche se le due formulazioni condividono la struttura moltiplicativa.

Confrontare le funzioni di benessere sociale

Criterio	Funzione	Elemento privilegiato
Utilitarismo	[math]\sum_i u_i[/math]	Somma delle utilità
Utilitarismo ponderato	[math]\sum_i\alpha_i u_i[/math]	Somma ponderata
Rawls	[math]\min_i u_i[/math]	Individuo meno avvantaggiato
Nash	[math]\prod_i u_i[/math]	Prodotto delle utilità individuali

Non esiste una funzione universalmente superiore alle altre, perché ciascuna incorpora una diversa concezione del benessere sociale. La scelta dipende dal criterio distributivo adottato e dalle ipotesi con cui vengono misurate le utilità.

---

Il teorema di Arrow: i limiti dell’aggregazione delle preferenze

Le funzioni di benessere sociale permettono di valutare le distribuzioni delle utilità, ma esiste un problema ancora più fondamentale: come possiamo costruire una preferenza collettiva partendo dalle preferenze dei singoli individui?

Immaginiamo che tre cittadini debbano scegliere tra tre proposte alternative. Ognuno possiede una propria graduatoria, ma la società deve produrre un ordinamento collettivo che permetta di stabilire quale alternativa sia preferibile.

Il problema diventa particolarmente interessante quando le preferenze individuali non sono allineate. Alcuni cittadini possono preferire A a B, altri B a C e altri ancora C ad A.

Nel 1951 Kenneth Arrow dimostrò che, con almeno tre alternative e ammettendo qualsiasi profilo di preferenze individuali, non esiste una regola generale di aggregazione capace di costruire un ordinamento sociale completo e transitivo rispettando contemporaneamente alcune condizioni considerate fondamentali.

Le condizioni del teorema

Per comprendere il risultato, analizziamo le principali proprietà richieste a una regola di aggregazione delle preferenze.

Dominio universale (U)

La regola deve poter essere applicata a qualsiasi profilo ammissibile di preferenze individuali, senza escludere configurazioni perché considerate particolarmente difficili da gestire.

Principio di Pareto (P)

Se tutti gli individui preferiscono strettamente A a B, anche la società deve preferire A a B. Una decisione collettiva non dovrebbe quindi contraddire un consenso unanime.

Indipendenza dalle alternative irrilevanti (IIA)

Il confronto sociale tra A e B deve dipendere esclusivamente dalle preferenze individuali tra A e B. Se le preferenze relative a una terza alternativa C cambiano, ma nessuno modifica il proprio giudizio tra A e B, anche il confronto sociale tra A e B deve rimanere invariato.

Non-dittatorialità (D)

Non deve esistere un individuo le cui preferenze determinino sempre e comunque l’ordinamento sociale, indipendentemente dalle preferenze degli altri.

Razionalità dell’ordinamento sociale

L’ordinamento collettivo deve essere completo e transitivo. In particolare, se la società preferisce A a B e B a C, deve preferire anche A a C.

Il risultato di Arrow

Il teorema dimostra che, con almeno tre alternative e nel quadro delle ipotesi indicate, non esiste una regola di aggregazione capace di soddisfare contemporaneamente tutte queste condizioni.

Il risultato non significa che ogni sistema elettorale sia inutilizzabile o che qualsiasi votazione produca necessariamente un paradosso. Dimostra piuttosto che non possiamo costruire una regola generale che garantisca tutte le proprietà richieste quando ammettiamo qualsiasi configurazione delle preferenze individuali.

Per comprendere il problema, consideriamo il paradosso di Condorcet.

Il paradosso di Condorcet: quando la maggioranza entra in contraddizione

Tre amici devono scegliere dove cenare:

• A = Pizza
• B = Sushi
• C = Cucina cinese

Le preferenze individuali sono:

Elettore	Prima scelta	Seconda scelta	Terza scelta
1	A	B	C
2	B	C	A
3	C	A	B

Ogni individuo possiede preferenze complete e transitive, ma il risultato delle votazioni a coppie produce una situazione sorprendente.

Confronto A contro B

• Elettore 1 preferisce A.
• Elettore 2 preferisce B.
• Elettore 3 preferisce A.

Risultato:

[math]A\succ_S B[/math]

A vince con due voti contro uno.

Confronto B contro C

• Elettore 1 preferisce B.
• Elettore 2 preferisce B.
• Elettore 3 preferisce C.

Risultato:

[math]B\succ_S C[/math]

B vince con due voti contro uno.

Confronto C contro A

• Elettore 1 preferisce A.
• Elettore 2 preferisce C.
• Elettore 3 preferisce C.

Risultato:

[math]C\succ_S A[/math]

C vince con due voti contro uno.

La relazione sociale risultante è:

[math]\boxed{A\succ_S B,\quad B\succ_S C,\quad C\succ_S A}[/math]

Si è formato un ciclo: A batte B, B batte C, ma C batte A.

L’ordinamento collettivo non è transitivo, anche se ogni individuo possiede preferenze perfettamente coerenti.

Il problema non nasce necessariamente dall’irrazionalità dei votanti, ma può emergere dal modo in cui le loro preferenze vengono aggregate. Il paradosso di Condorcet costituisce una delle manifestazioni più intuitive delle difficoltà affrontate dal teorema di Arrow, anche se da solo non ne rappresenta una dimostrazione generale.

L’elettore mediano: quando la restrizione del dominio cambia il risultato

Il teorema dell’elettore mediano costituisce un risultato importante della teoria della scelta collettiva e permette di comprendere come alcune restrizioni delle preferenze individuali possano evitare i problemi di intransitività.

Immaginiamo che le alternative politiche siano collocate su un unico asse, per esempio quello che va da una politica fiscale più restrittiva a una più espansiva.

Ogni elettore possiede un punto ideale, cioè la posizione che preferisce maggiormente, e considera progressivamente meno desiderabili le alternative che si allontanano da quel punto.

Queste preferenze sono definite a singolo picco, perché presentano un solo massimo lungo l’asse delle alternative.

Se tutti gli elettori hanno preferenze a singolo picco sullo stesso asse, l’alternativa ideale dell’elettore mediano è un vincitore di Condorcet, cioè batte qualsiasi altra alternativa in un confronto diretto a maggioranza.

La struttura a singolo picco garantisce inoltre la transitività dell’ordinamento sociale prodotto dalla maggioranza a coppie.

Sono due proprietà collegate, ma concettualmente distinte: la prima riguarda l’esistenza di un’alternativa che batte tutte le altre, mentre la seconda riguarda la coerenza dell’intero ordinamento collettivo.

La restrizione del dominio cambia però il problema rispetto ad Arrow, perché non vengono più ammesse tutte le possibili configurazioni delle preferenze, ma soltanto quelle compatibili con l’ipotesi di singolo picco.

Il risultato dell’elettore mediano non contraddice quindi il teorema di Arrow: consente di ottenere determinate proprietà rinunciando al dominio universale.

Nel modello a singolo picco, la maggioranza a coppie rispetta anche Pareto, IIA e non-dittatorialità, producendo un ordinamento sociale completo e transitivo sul dominio ristretto.

---

I criteri di compensazione: valutare l’efficienza dei progetti pubblici

Quando un governo deve decidere se realizzare una nuova infrastruttura, introdurre una regolamentazione ambientale o finanziare un intervento pubblico, deve confrontare benefici e costi che ricadono su soggetti differenti.

Un progetto può produrre vantaggi per le imprese e i consumatori, ma generare contemporaneamente costi per i residenti, per l’ambiente o per altre attività economiche.

L’analisi costi-benefici cerca di ricondurre questi effetti a una misura monetaria, così da poter confrontare alternative differenti.

I criteri di Kaldor-Hicks e Scitovsky appartengono a questa tradizione e consentono di valutare i cambiamenti economici attraverso il principio della compensazione potenziale.

Per comprendere correttamente questi criteri, bisogna distinguere le variazioni monetarie di surplus dalle variazioni delle utilità individuali. Non possiamo concludere automaticamente che un guadagno di 50 unità di utilità per una persona compensi una perdita di 10 unità per un’altra.

I confronti monetari richiedono grandezze economiche confrontabili, come la disponibilità a pagare, la disponibilità ad accettare un risarcimento e le variazioni compensative o equivalenti.

Il criterio di Kaldor-Hicks: la compensazione potenziale

Secondo il criterio di Kaldor-Hicks, un cambiamento economico può essere considerato un miglioramento se i soggetti che ne traggono beneficio potrebbero compensare economicamente quelli che subiscono una perdita, mantenendo comunque un vantaggio netto.

La compensazione è potenziale: non è necessario che venga effettivamente pagata.

Immaginiamo che un progetto infrastrutturale generi:

• un beneficio monetario netto di 1.000.000 euro per imprese e lavoratori;
• un danno economico di 300.000 euro per residenti e attività locali.

Il saldo complessivo è:

[math]1.000.000-300.000=700.000\ €[/math]

I beneficiari potrebbero trasferire 300.000 euro ai soggetti danneggiati e conservare comunque un vantaggio di 700.000 euro.

Il progetto supera quindi il test di Kaldor-Hicks, sulla base delle valutazioni monetarie ipotizzate.

Questo non significa che sia automaticamente giusto realizzarlo. Se la compensazione non viene effettuata, i residenti possono rimanere effettivamente danneggiati.

Il criterio valuta l’efficienza potenziale, ma non garantisce l’equità della distribuzione finale.

Il criterio di Scitovsky: il doppio test di compensazione

Il criterio di Scitovsky nasce per affrontare un problema del criterio di Kaldor-Hicks: in determinate circostanze, due situazioni economiche possono superare entrambe il test di compensazione se vengono valutate in direzioni opposte.

Si può quindi verificare una situazione nella quale il passaggio da A a B sembra un miglioramento secondo Kaldor-Hicks, ma anche il passaggio inverso da B ad A supera lo stesso criterio.

Per evitare questa contraddizione, il criterio di Scitovsky richiede una doppia verifica:

• il passaggio dalla situazione iniziale a quella finale deve superare il test di Kaldor-Hicks;
• il passaggio inverso non deve superare il test di Kaldor-Hicks.

Il secondo controllo impedisce di considerare reciprocamente preferibili due situazioni soltanto sulla base di misure di compensazione potenziale calcolate in direzioni opposte.

Anche questo criterio rimane uno strumento di valutazione dell’efficienza potenziale e non costituisce una teoria completa della giustizia distributiva.

---

Sei esercizi svolti di economia del benessere e scelta sociale

Gli esercizi seguenti riprendono i concetti introdotti nella parte teorica, partendo dal confronto tra funzioni di benessere sociale e arrivando alla valutazione dei progetti pubblici. I primi tre richiedono soprattutto l’applicazione delle formule, mentre i successivi sviluppano il ragionamento sulle proprietà delle regole di aggregazione e sui criteri di compensazione.

Esercizio 1 – Funzione di benessere utilitarista e confronto tra allocazioni

Testo

In un’economia con due individui, A e B, le possibili allocazioni generano le seguenti coppie di utilità:

• Allocazione [math]X=(4,6)[/math]
• Allocazione [math]Y=(7,2)[/math]
• Allocazione [math]Z=(5,5)[/math]

La funzione di benessere sociale è utilitarista classica:

[math]W_U=u_A+u_B[/math]

Richieste

• Calcolare il valore della funzione di benessere sociale per ciascuna allocazione.
• Individuare le allocazioni che massimizzano il benessere sociale.
• Supporre che la funzione diventi utilitarista ponderata, con pesi [math]\alpha_A=2[/math] e [math]\alpha_B=1[/math], e verificare se l’allocazione ottima cambia.

Soluzione

Calcolo della funzione utilitarista classica

Per l’allocazione X:

[math]W_U(X)=4+6=10[/math]

Per l’allocazione Y:

[math]W_U(Y)=7+2=9[/math]

Per l’allocazione Z:

[math]W_U(Z)=5+5=10[/math]

Raccogliamo i risultati:

Allocazione	[math]u_A[/math]	[math]u_B[/math]	[math]W_U[/math]
X	4	6	10
Y	7	2	9
Z	5	5	10

Il valore massimo è pari a 10 ed è raggiunto dalle allocazioni X e Z.

L’utilitarismo classico considera quindi equivalenti le due allocazioni, anche se la distribuzione delle utilità è diversa.

In X, l’individuo B possiede un’utilità superiore a quella di A, mentre in Z entrambi hanno lo stesso livello di benessere. La funzione additiva non attribuisce alcun vantaggio distributivo alla seconda situazione.

Calcolo dell’utilitarismo ponderato

La nuova funzione è:

[math]W_{U,\alpha}=2u_A+u_B[/math]

Calcoliamo i valori:

[math]W_{U,\alpha}(X)=2(4)+6=14[/math]

[math]W_{U,\alpha}(Y)=2(7)+2=16[/math]

[math]W_{U,\alpha}(Z)=2(5)+5=15[/math]

Allocazione	Calcolo	[math]W_{U,\alpha}[/math]
X	[math]2\cdot4+6[/math]	14
Y	[math]2\cdot7+2[/math]	16
Z	[math]2\cdot5+5[/math]	15

La nuova funzione preferisce Y, che raggiunge il valore massimo pari a 16.

Il risultato cambia perché l’individuo A riceve un peso doppio rispetto a B. L’allocazione Y, pur essendo quella con il totale di utilità più basso nella valutazione non ponderata, diventa preferibile quando si attribuisce maggiore importanza al benessere di A.

Interpretazione economica

La scelta dei pesi modifica il giudizio sociale e non costituisce una correzione matematica neutrale, perché introduce una priorità distributiva.

Una funzione ponderata potrebbe, per esempio, attribuire un peso maggiore alle fasce di reddito più basse, ma la giustificazione dei pesi deve essere esplicita. Inoltre, per interpretare correttamente i risultati, occorre specificare come sono state costruite e rese confrontabili le scale di utilità individuali.

Domanda di riflessione

Quale proprietà formale distingue l’utilitarismo classico da quello ponderato e perché questa differenza è rilevante per il giudizio sociale?

Esercizio 2 – Funzione di Rawls e criterio del maximin

Testo

Riprendiamo le tre allocazioni dell’esercizio precedente:

[math]X=(4,6),\qquad Y=(7,2),\qquad Z=(5,5)[/math]

Consideriamo la rappresentazione semplificata del criterio maximin:

[math]W_R=\min(u_A,u_B)[/math]

Richieste

• Calcolare il valore della funzione di Rawls per ogni allocazione.
• Individuare l’allocazione preferita.
• Confrontare il risultato con quello ottenuto attraverso l’utilitarismo classico.

Soluzione

Calcolo del minimo per ogni allocazione

Per X:

[math]W_R(X)=\min(4,6)=4[/math]

Per Y:

[math]W_R(Y)=\min(7,2)=2[/math]

Per Z:

[math]W_R(Z)=\min(5,5)=5[/math]

La tabella riassuntiva è:

Allocazione	Utilità A	Utilità B	[math]W_R[/math]
X	4	6	4
Y	7	2	2
Z	5	5	5

Il valore massimo è 5, ottenuto dall’allocazione Z.

Il criterio maximin preferisce quindi la distribuzione nella quale l’individuo meno avvantaggiato raggiunge il livello di utilità più elevato.

Confronto con l’utilitarismo

Ricordiamo che l’utilitarismo classico aveva prodotto:

[math]W_U(X)=10[/math]

[math]W_U(Y)=9[/math]

[math]W_U(Z)=10[/math]

L’utilitarismo era indifferente tra X e Z, mentre il criterio maximin preferisce nettamente Z.

La differenza deriva dal fatto che l’utilitarismo considera la somma delle utilità, mentre il maximin valuta esclusivamente la posizione del soggetto meno avvantaggiato.

L’allocazione X viene quindi esclusa dal criterio maximin, nonostante presenti lo stesso benessere totale di Z, perché garantisce un livello minimo di utilità pari a 4 anziché 5.

Interpretazione economica

Questo criterio può assumere particolare rilevanza nelle politiche pubbliche che riguardano l’accesso ai servizi essenziali, la protezione sociale e la riduzione delle condizioni di svantaggio.

Una politica che migliora moderatamente la condizione di molti individui, ma lascia invariata quella dei soggetti più vulnerabili, potrebbe essere meno desiderabile rispetto a un intervento concentrato proprio su questi ultimi.

Domanda di riflessione

Perché la funzione di Rawls viene associata al criterio maximin e in quali politiche pubbliche potrebbe condurre a decisioni differenti rispetto all’utilitarismo?

Esercizio 3 – Funzione di Nash e sensibilità alle distribuzioni estreme

Testo

Consideriamo nuovamente le allocazioni:

[math]X=(4,6),\qquad Y=(7,2),\qquad Z=(5,5)[/math]

La funzione di benessere sociale di Nash è:

[math]W_N=u_Au_B[/math]

Richieste

• Calcolare la funzione di Nash per ciascuna allocazione.
• Individuare quella che massimizza il benessere sociale.
• Considerare una nuova allocazione [math]Y’=(7,0)[/math] e confrontarla con X.
• Spiegare perché la funzione moltiplicativa è particolarmente sensibile ai livelli di utilità molto bassi.

Soluzione

Calcolo del prodotto delle utilità

Per X:

[math]W_N(X)=4\cdot6=24[/math]

Per Y:

[math]W_N(Y)=7\cdot2=14[/math]

Per Z:

[math]W_N(Z)=5\cdot5=25[/math]

La tabella riassuntiva è:

Allocazione	Calcolo	[math]W_N[/math]
X	[math]4\cdot6[/math]	24
Y	[math]7\cdot2[/math]	14
Z	[math]5\cdot5[/math]	25

L’allocazione Z massimizza la funzione di benessere sociale, con un valore pari a 25.

La distribuzione equilibrata produce quindi un risultato superiore rispetto alle altre due allocazioni.

Caso con utilità nulla

Consideriamo:

[math]Y’=(7,0)[/math]

Il benessere sociale diventa:

[math]W_N(Y’)=7\cdot0=0[/math]

Confrontando questo valore con quello di X:

[math]W_N(X)=24>W_N(Y’)=0[/math]

La funzione di Nash attribuisce valore nullo a una distribuzione nella quale uno dei due individui possiede utilità pari a zero, indipendentemente dal livello raggiunto dall’altro.

Per comprendere meglio la differenza, osserviamo cosa accadrebbe utilizzando l’utilitarismo classico:

[math]W_U(Y’)=7+0=7[/math]

Il risultato è positivo, perché l’utilitarismo continua a considerare il contributo dell’individuo A anche quando B presenta utilità nulla.

Interpretazione economica

La funzione moltiplicativa è particolarmente sensibile ai livelli di utilità molto bassi, perché ogni termine contribuisce al prodotto complessivo.

Questo non significa che la funzione di Nash sia identica al maximin: mentre Rawls valuta esclusivamente il livello minimo, Nash considera il prodotto delle utilità di tutti gli individui.

Il criterio di Nash può quindi rappresentare un compromesso tra la massimizzazione della somma e l’attenzione alla distribuzione, pur richiedendo ipotesi specifiche sulla misurazione delle utilità.

Domanda di riflessione

In che senso la funzione di Nash può essere considerata più sensibile alla distribuzione rispetto all’utilitarismo classico, senza coincidere con il criterio maximin?

Esercizio 4 – Paradosso di Condorcet e violazione della transitività

Testo

Tre elettori devono scegliere tra tre alternative A, B e C.

Le preferenze individuali sono:

Elettore	Preferenze
1	[math]A\succ_1 B\succ_1 C[/math]
2	[math]B\succ_2 C\succ_2 A[/math]
3	[math]C\succ_3 A\succ_3 B[/math]

La regola di scelta sociale è la maggioranza semplice applicata a ogni confronto tra due alternative.

Richieste

• Determinare l’esito delle votazioni A contro B, B contro C e A contro C.
• Costruire la relazione di preferenza sociale.
• Verificare se l’ordinamento collettivo è transitivo.
• Individuare il problema rispetto alle condizioni di Arrow.

Soluzione

Confronto tra A e B

L’elettore 1 preferisce A, l’elettore 2 preferisce B e l’elettore 3 preferisce A.

Quindi:

[math]A\succ_S B[/math]

con due voti favorevoli ad A e uno a B.

Confronto tra B e C

Gli elettori 1 e 2 preferiscono B, mentre l’elettore 3 preferisce C.

Quindi:

[math]B\succ_S C[/math]

anche in questo caso con due voti contro uno.

Confronto tra A e C

L’elettore 1 preferisce A, mentre gli elettori 2 e 3 preferiscono C.

Quindi:

[math]C\succ_S A[/math]

C vince con due voti contro uno.

Costruzione dell’ordinamento sociale

I risultati possono essere sintetizzati nella relazione:

[math]A\succ_S B[/math]

[math]B\succ_S C[/math]

[math]C\succ_S A[/math]

La relazione è ciclica.

Se la società preferisce A a B e B a C, la transitività richiederebbe che A fosse preferita anche a C. La votazione produce invece il risultato opposto.

La maggioranza semplice non garantisce quindi un ordinamento sociale transitivo per qualsiasi profilo di preferenze.

Collegamento con Arrow

In questo esempio viene meno la razionalità dell’ordinamento sociale, perché la relazione collettiva è intransitiva.

Il risultato illustra un problema centrale della teoria della scelta sociale: una regola di aggregazione può produrre preferenze collettive non coerenti anche quando le preferenze individuali sono complete e transitive.

Il paradosso di Condorcet non dimostra da solo il teorema di Arrow, ma ne rappresenta una delle manifestazioni più intuitive.

Domanda di riflessione

Se la maggioranza può produrre un ordinamento ciclico, perché molti sistemi politici continuano a utilizzare questo metodo? Quale ruolo possono assumere l’agenda delle votazioni, i ballottaggi e il voto strategico?

Esercizio 5 – Teorema dell’elettore mediano e restrizione del dominio

Testo

Consideriamo una società composta da tre elettori che devono scegliere tra tre alternative politiche collocate su un unico asse:

[math]A<B<C[/math]

Le alternative rappresentano livelli crescenti di spesa pubblica.

Le preferenze individuali sono:

Elettore	Preferenze	Alternativa ideale
1	[math]A\succ B\succ C[/math]	A
2	[math]B\succ C\succ A[/math]	B
3	[math]C\succ B\succ A[/math]	C

Le preferenze sono a singolo picco: ogni elettore preferisce la propria alternativa ideale e considera progressivamente meno favorevoli le alternative che se ne allontanano.

Definiamo la regola sociale come la maggioranza semplice applicata ai confronti a coppie.

Richieste

• Individuare l’elettore mediano.
• Verificare quale alternativa vince i confronti a maggioranza.
• Spiegare perché la regola a maggioranza risulta transitiva in questo profilo.
• Analizzare il rapporto tra questa regola e le condizioni di Arrow, distinguendo dominio universale, Pareto, non-dittatorialità e IIA.

Soluzione

Individuazione dell’elettore mediano

Le alternative ideali sono:

[math]A,\quad B,\quad C[/math]

Ordinate lungo l’asse:

[math]A<B<C[/math]

L’elettore mediano è il secondo elettore, il cui punto ideale è B.

Secondo il teorema dell’elettore mediano, in presenza di preferenze a singolo picco su una dimensione, l’alternativa ideale dell’elettore mediano è un vincitore di Condorcet.

Verifica dei confronti a maggioranza

Confrontiamo A e B:

• Elettore 1 preferisce A.
• Elettore 2 preferisce B.
• Elettore 3 preferisce B.

Pertanto:

[math]B\succ_S A[/math]

Confrontiamo B e C:

• Elettore 1 preferisce B.
• Elettore 2 preferisce B.
• Elettore 3 preferisce C.

Pertanto:

[math]B\succ_S C[/math]

Confrontiamo A e C:

• Elettore 1 preferisce A.
• Elettore 2 preferisce C.
• Elettore 3 preferisce C.

Pertanto:

[math]C\succ_S A[/math]

L’ordinamento sociale risultante è:

[math]\boxed{B\succ_S C\succ_S A}[/math]

L’alternativa B è preferita sia ad A sia a C, quindi è il vincitore di Condorcet.

Verifica delle condizioni

Condizione	Risultato	Motivazione
Dominio universale (U)	Non soddisfatta	Sono ammesse soltanto preferenze a singolo picco sull’asse comune
Pareto (P)	Soddisfatta	L’unanimità su un confronto viene rispettata dalla maggioranza
Non-dittatorialità (D)	Soddisfatta	Nessun individuo determina sempre l’esito
IIA	Soddisfatta	Il confronto sociale tra due alternative dipende soltanto dai confronti individuali tra quelle alternative
Transitività	Soddisfatta sul dominio ristretto	La maggioranza tra preferenze a singolo picco su un asse è transitiva

Perché questo risultato non contraddice Arrow

Il teorema di Arrow richiede il dominio universale, mentre il modello dell’elettore mediano impone una restrizione sulle preferenze individuali.

Questa differenza è decisiva.

La regola di maggioranza a coppie, sul dominio delle preferenze a singolo picco, può produrre un ordinamento completo e transitivo, rispettando anche Pareto, IIA e non-dittatorialità.

Non esiste quindi alcuna contraddizione con il teorema di Arrow, perché non stiamo più considerando tutti i profili di preferenze possibili.

È importante ricordare che la conclusione riguarda la regola a maggioranza applicata all’intero ordinamento sociale. Se ci limitassimo a scegliere l’alternativa ideale dell’elettore mediano, staremmo invece descrivendo una regola di selezione del vincitore, non necessariamente un ordinamento sociale completo.

Domanda di riflessione

Perché restringere il dominio delle preferenze può consentire di ottenere risultati che il teorema di Arrow esclude nel caso generale? Quali difficoltà possono emergere quando si deve verificare che le preferenze siano effettivamente a singolo picco?

Esercizio 6 – Criteri di compensazione di Kaldor-Hicks e Scitovsky

Testo

Un progetto pubblico modifica il benessere economico di due gruppi, A e B.

Per rendere confrontabili le variazioni, supponiamo che i valori siano espressi in euro e rappresentino variazioni monetarie nette di surplus, calcolate rispetto alla situazione iniziale. Assumiamo inoltre, per semplicità, che i trasferimenti possano essere effettuati senza costi e che le valutazioni monetarie siano confrontabili.

Prima del progetto, la situazione economica di riferimento è:

[math](S_A,S_B)=(100,40)[/math]

Dopo il progetto:

[math](S_A’,S_B’)=(150,30)[/math]

Il progetto aumenta il surplus complessivo, ma il gruppo B subisce una perdita.

Richieste

• Applicare il criterio di Kaldor-Hicks.
• Verificare il criterio di Scitovsky attraverso il test del cambiamento inverso.
• Supporre che venga effettuato un trasferimento effettivo di 15 euro da A a B e verificare il risultato.
• Spiegare perché i criteri di compensazione non garantiscono automaticamente un miglioramento distributivo.

Soluzione

Applicazione del criterio di Kaldor-Hicks

Calcoliamo le variazioni monetarie dei due gruppi:

[math]\Delta S_A=150-100=+50[/math]

[math]\Delta S_B=30-40=-10[/math]

Il gruppo A ottiene un beneficio pari a 50 euro, mentre il gruppo B subisce una perdita di 10 euro.

Il saldo complessivo è:

[math]\Delta S=50-10=40[/math]

Poiché il beneficio dei vincitori è superiore alla perdita dei soggetti danneggiati, esiste la possibilità di compensare B e lasciare comunque un vantaggio ad A.

Se A trasferisse 10 euro a B, la situazione diventerebbe:

[math]S_A”=150-10=140[/math]

[math]S_B”=30+10=40[/math]

Confrontando la situazione compensata con quella iniziale:

[math]140>100[/math]

[math]40=40[/math]

A rimarrebbe in una posizione migliore e B recupererebbe esattamente la perdita subita.

Il progetto supera quindi il test di Kaldor-Hicks.

La compensazione, tuttavia, è soltanto potenziale: il criterio non impone che il trasferimento venga realmente effettuato.

Applicazione del criterio di Scitovsky

Per applicare il doppio test dobbiamo verificare anche il cambiamento inverso, cioè il passaggio dalla situazione successiva al progetto a quella iniziale.

Nel passaggio inverso:

• A perde 50 euro, perché passa da 150 a 100.
• B guadagna 10 euro, perché passa da 30 a 40.

Il gruppo B è quindi il potenziale vincitore del cambiamento inverso, mentre A è il soggetto che ne subisce il costo.

Per compensare A, B dovrebbe poter trasferire 50 euro, ma il vantaggio monetario disponibile è soltanto 10 euro.

Pertanto:

[math]10<50[/math]

Il cambiamento inverso non supera il test di Kaldor-Hicks.

Poiché il progetto supera il test diretto e il cambiamento inverso non supera quello opposto, il progetto supera anche il criterio di Scitovsky, sulla base delle valutazioni monetarie e delle ipotesi semplificate adottate nell’esercizio.

In un’analisi economica completa, il doppio test deve essere costruito utilizzando misure di compensazione coerenti con ciascuna situazione di riferimento, perché le disponibilità a pagare e ad accettare possono cambiare quando varia la distribuzione iniziale delle risorse.

Compensazione effettiva

Supponiamo ora che A trasferisca effettivamente 15 euro a B.

La nuova distribuzione diventa:

[math]S_A”’=150-15=135[/math]

[math]S_B”’=30+15=45[/math]

Confrontiamo i risultati con la situazione iniziale:

Gruppo	Prima del progetto	Dopo il progetto e la compensazione
A	100	135
B	40	45

Entrambi i gruppi migliorano la propria condizione:

[math]135>100[/math]

[math]45>40[/math]

La situazione finale costituisce quindi un miglioramento paretiano rispetto a quella iniziale, secondo le grandezze monetarie adottate.

La compensazione effettiva trasforma un miglioramento potenziale in un miglioramento che avvantaggia entrambi i gruppi.

Limiti dei criteri di compensazione

Kaldor-Hicks e Scitovsky valutano l’efficienza potenziale, ma non garantiscono che i benefici vengano redistribuiti.

Un progetto può essere giudicato favorevolmente anche quando i soggetti più vulnerabili subiscono una perdita, purché i guadagni complessivi siano sufficienti a compensarla in linea teorica.

Inoltre, le valutazioni monetarie dipendono dalle disponibilità a pagare e ad accettare dei soggetti coinvolti, che possono essere influenzate dal reddito e dalla distribuzione iniziale delle risorse.

Per questo motivo, un’analisi costi-benefici dovrebbe essere accompagnata da una valutazione distributiva esplicita, soprattutto quando gli effetti ricadono su gruppi con condizioni economiche molto differenti.

Domanda di riflessione

Perché il criterio di Kaldor-Hicks viene utilizzato nelle analisi costi-benefici nonostante non richieda una compensazione effettiva? Quali problemi etici emergono quando i soggetti danneggiati appartengono alle fasce economicamente più deboli?

---

Risposte alle domande di riflessione

Utilitarismo classico e ponderato

La differenza formale riguarda i pesi assegnati alle utilità individuali.

Nell’utilitarismo classico:

[math]W_U=\sum_i u_i[/math]

mentre nella versione ponderata:

[math]W_{U,\alpha}=\sum_i\alpha_i u_i[/math]

La seconda funzione consente di attribuire importanza diversa alle condizioni individuali.

Se, per esempio, si assegna un peso maggiore alle persone con reddito basso, una redistribuzione delle risorse può diventare preferibile anche quando non massimizza la somma semplice delle utilità.

La scelta dei pesi introduce quindi un giudizio distributivo che deve essere dichiarato e motivato, tenendo conto anche delle ipotesi di comparabilità delle utilità individuali.

Il significato del maximin

Il termine maximin deriva dalla combinazione di due operazioni: individuare il valore minimo tra le utilità individuali e massimizzare tale valore tra le allocazioni disponibili.

La funzione può essere scritta:

[math]\max \min(u_1,u_2,\ldots,u_n)[/math]

Nelle politiche pubbliche, questo criterio può privilegiare interventi destinati a migliorare le condizioni dei gruppi più svantaggiati, anche quando esistono alternative capaci di produrre un incremento maggiore del benessere aggregato.

Un esempio è rappresentato dagli investimenti nell’istruzione delle aree economicamente più fragili, dove il rendimento medio dell’investimento potrebbe essere inferiore rispetto a quello di altre zone, ma il miglioramento delle condizioni dei soggetti svantaggiati assume una priorità particolare.

Nash come criterio sensibile alla distribuzione

La funzione di Nash considera il prodotto delle utilità individuali e quindi non è indifferente alla distribuzione.

A parità di somma, una distribuzione più equilibrata produce generalmente un prodotto maggiore, purché le utilità siano positive e misurate su scale coerenti.

Tuttavia, Nash non guarda esclusivamente al soggetto meno avvantaggiato, come accade nel criterio maximin, perché anche le utilità degli altri individui contribuiscono al risultato.

La funzione può quindi essere interpretata come un criterio che tiene insieme benessere individuale e distribuzione, senza coincidere né con l’utilitarismo classico né con il maximin.

Perché la maggioranza rimane una regola diffusa?

La votazione a maggioranza è utilizzata perché presenta caratteristiche istituzionali importanti: è relativamente semplice, trasparente e attribuisce a ciascun elettore lo stesso peso formale.

Il paradosso di Condorcet mostra però che non garantisce sempre un ordinamento collettivo transitivo.

L’agenda delle votazioni può influenzare il risultato, perché l’ordine con cui vengono presentate le alternative può determinare quale confronto venga effettuato per primo e quale alternativa arrivi alla decisione finale.

Anche il voto strategico e i ballottaggi possono modificare gli esiti, ma non eliminano in generale i problemi teorici dell’aggregazione delle preferenze.

La scelta delle regole istituzionali rimane quindi fondamentale, perché ogni sistema elettorale incorpora un diverso equilibrio tra rappresentatività, stabilità e possibilità di manipolazione.

La restrizione del dominio come soluzione al problema di Arrow

Il teorema di Arrow dimostra l’impossibilità di soddisfare simultaneamente tutte le condizioni richieste quando si ammettono tutti i profili di preferenze individuali.

Se si restringe il dominio a preferenze a singolo picco su un asse comune, la regola di maggioranza può produrre un ordinamento sociale transitivo.

La condizione di dominio universale viene quindi abbandonata, mentre le altre proprietà possono essere rispettate.

Questa soluzione richiede però che le preferenze siano effettivamente rappresentabili su una dimensione e che la loro struttura venga verificata.

Nelle decisioni politiche reali, le preferenze possono essere multidimensionali: un elettore può preferire una politica fiscale più espansiva, ma una politica ambientale più restrittiva e una politica migratoria differente.

Ridurre tutte queste preferenze a un unico asse può quindi semplificare eccessivamente il problema.

Perché Kaldor-Hicks è utile nelle analisi costi-benefici?

Kaldor-Hicks è utilizzato perché permette di valutare progetti complessi senza richiedere necessariamente una funzione di benessere sociale completa o confronti diretti tra utilità individuali.

L’analisi può essere condotta attraverso grandezze monetarie, come i costi di investimento, i benefici attesi, le disponibilità a pagare e i danni economici.

Il limite principale è che la compensazione può rimanere puramente teorica.

Un progetto potrebbe aumentare il surplus economico complessivo e contemporaneamente peggiorare le condizioni di una comunità locale, senza che quest’ultima riceva alcun risarcimento.

La valutazione economica deve quindi distinguere tra efficienza potenziale e giustizia distributiva, evitando di presentare il superamento del test di compensazione come una prova sufficiente della desiderabilità sociale del progetto.

---

Efficienza, esternalità e benessere sociale: un’applicazione economica

Le funzioni di benessere sociale, i criteri di compensazione e l’analisi delle esternalità affrontano problemi collegati, ma non identici.

Consideriamo, per esempio, la costruzione di un nuovo impianto industriale in prossimità di un centro abitato. L’investimento può generare occupazione, aumentare la produzione locale e migliorare le entrate fiscali, ma può anche produrre inquinamento, rumore e costi sanitari per i residenti.

La valutazione del progetto cambia a seconda del criterio utilizzato.

Secondo l’utilitarismo, occorre considerare l’effetto complessivo sulle utilità individuali, tenendo conto sia dei benefici economici sia dei danni prodotti dall’inquinamento.

Secondo il criterio maximin, assume particolare rilevanza la condizione dei soggetti che subiscono gli effetti peggiori, soprattutto quando si tratta di persone già esposte a condizioni di svantaggio.

Secondo Kaldor-Hicks, il progetto può essere considerato economicamente efficiente se i benefici monetari sono sufficienti a compensare potenzialmente i danni, anche quando i trasferimenti non vengono effettivamente realizzati.

Queste valutazioni non sono equivalenti, perché rispondono a domande differenti.

Il teorema di Coase offre un’ulteriore prospettiva, concentrandosi sulle possibilità di negoziazione tra i soggetti coinvolti in un’esternalità.

Se i diritti di proprietà sono ben definiti e i costi di transazione sono nulli, la negoziazione può condurre a un’allocazione efficiente indipendentemente dall’assegnazione iniziale dei diritti, anche se la distribuzione dei benefici e dei costi cambia.

Kaldor-Hicks, invece, non richiede necessariamente una negoziazione né un accordo tra le parti. Valuta se i beneficiari di un progetto potrebbero compensare i soggetti danneggiati, mantenendo comunque un vantaggio netto.

La differenza è importante: Coase studia le possibilità di coordinamento attraverso la negoziazione privata, mentre Kaldor-Hicks fornisce un criterio di valutazione dell’efficienza potenziale.

Entrambi, tuttavia, lasciano aperta una questione distributiva: raggiungere un’allocazione efficiente non significa necessariamente ottenere una distribuzione equa dei benefici.

Per approfondire questi meccanismi, puoi consultare l’articolo dedicato alle esternalità e agli strumenti di intervento economico.

📚 Per approfondire: Esternalità ed efficienza economica

Esternalità ed Efficienza Economica: esercizi svolti su tassa pigouviana, teorema di Coase e permessi di emissione

Nell’articolo trovi tre esercizi applicativi dedicati ai costi esterni, alla tassa pigouviana e alla negoziazione tra soggetti coinvolti in un’esternalità.

Il collegamento tra i due percorsi consente di distinguere tre questioni:

• Efficienza allocativa: le risorse vengono utilizzate nel modo economicamente più conveniente per la collettività?
• Efficienza potenziale: i benefici di un progetto sono sufficienti a compensare le perdite che esso genera?
• Giustizia distributiva: chi riceve effettivamente i benefici e chi sostiene i costi?

Sono tre questioni che possono essere collegate, ma non devono essere confuse.

---

Efficienza e giustizia non sono sinonimi

Le funzioni di benessere sociale, il teorema di Arrow e i criteri di compensazione affrontano aspetti differenti di uno stesso problema: come valutare le decisioni economiche quando gli interessi individuali non coincidono.

L’utilitarismo classico privilegia la somma delle utilità, il criterio maximin concentra l’attenzione sulla condizione del soggetto meno avvantaggiato, mentre la funzione di Nash considera il prodotto delle utilità individuali e risulta particolarmente sensibile alle distribuzioni squilibrate.

Il teorema di Arrow mostra che non esiste una regola generale capace di aggregare qualsiasi profilo di preferenze rispettando simultaneamente tutte le condizioni desiderabili di una scelta collettiva. Il paradosso di Condorcet rende evidente come una maggioranza possa generare un ordinamento ciclico anche quando le preferenze individuali sono perfettamente coerenti.

I criteri di Kaldor-Hicks e Scitovsky, infine, consentono di valutare l’efficienza potenziale dei cambiamenti economici, ma non garantiscono che i benefici vengano effettivamente redistribuiti tra i soggetti coinvolti.

Il filo conduttore è che un miglioramento dell’efficienza economica non coincide necessariamente con un miglioramento della giustizia sociale.

Un progetto può aumentare il surplus complessivo e lasciare alcuni gruppi in condizioni peggiori; una regola di voto può rispettare l’uguaglianza formale dei votanti e produrre un ordinamento collettivo incoerente; una distribuzione può massimizzare la somma delle utilità senza tutelare adeguatamente chi si trova nella posizione più svantaggiata.

Il compito dell’economia del benessere non è stabilire una volta per tutte quale società sia giusta, ma rendere espliciti i criteri utilizzati, le ipotesi matematiche e le conseguenze distributive delle diverse decisioni.

Per uno studente di microeconomia, comprendere queste differenze significa andare oltre il calcolo di una funzione obiettivo e imparare a interpretare ciò che il risultato matematico rappresenta, quali ipotesi lo sostengono e quali aspetti della realtà economica rimangono esclusi dal modello.

È proprio questa distinzione tra ciò che è efficiente e ciò che è desiderabile a rendere l’economia del benessere una parte fondamentale dello studio della microeconomia.

(10)

PubblicitàPubblicità