Basi di numerazione

L’utilizzo della scrittura posizionale (che assegna allo stesso simbolo valore differente a seconda della “posizione” in cui è scritto) permette di rappresentare un qualsiasi numero naturale attraverso un numero limitato di simboli. La scrittura dei numeri adottata dagli antichi Romani non aveva, ad esempio, questo pregio, ma si era costretti ad inventare sempre nuovi simboli per rappresentare numeri di volta in volta più grandi.
Per scrivere un qualunque numero naturale utilizziamo ora, usualmente, la scrittura posizionale e 10 simboli: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ma le modalità della scrittura posizionale possono essere applicate e utilizzate fissando a piacere il numero di simboli da utilizzare.
In alcuni contesti, è anzi decisamente conveniente selezionare un numero di simboli diverso da dieci.
Il numero di simboli selezionato (è l’analogo della scelta dell’alfabeto con cui formare tutte le parole) prende il nome di base di numerazione.

Faremo esempi legati a basi di numerazioni minori o uguali a 10 e, per semplicità, useremo come simboli le cifre consuete (purchè inferiori alla base di numerazione). Ad esempio, se la base di numerazione fissata è 7, i simboli da utilizzare come cifre saranno 0,1,2,3,4,5,6.

Scrittura in forma polinomiale e scrittura in una base

La scrittura posizionale si basa sulla possibiità di scrivere i numeri in forma polinomiale.
Ad esempio, nella scrittura decimale (cioè in base 10) il numero 1234 corrisponde a

1234 = 1 migliaio + 2 centinaia + 3 decine + 4 unità =
=1× 1000+ 2 × 100+ 3× 10 + 4
Utilizzando le potenze di 10, posso riformularlo come segue:
1234= 1× 10³ + 2 × 10² + 3× 10 + 4 × 100

che prende il nome di scrittura in forma polinomiale in base 10; le cifre 1,2,3,4, sono i coefficienti della forma polinomiale; in particolare, 1 è il coefficiente di 10³, 2 di 10², 3 di 10 =10¹, 4 × 10⁰. La scrittura 1234 è semplicemente la forma abbreviata della scrittura in forma polinomiale; tenendo memoria precisa dell’ordine in cui compaiono i coefficienti, possiamo evitare di riportare tutte le potenze di 10 e scrivere semplicemente la successione ordinata dei coefficienti: la rappresentazione diventa più leggera e maneggevole. Le cifre dei coefficienti vengono rigorosamente elencate a partire dal coefficiente della potenza maggiore (e inserendo 0 ove il coefficiente sia nullo).

Ma avremmo potuto scegliere la base 7 invece della base 10 e scrivere:
1234 = 3 × 7³ + 4 × 7² + 1 × 71 + 2 × 7⁰
che è la forma polinomiale in base 7 (controlla l’uguaglianza!).

Scelta la base 7, possiamo ricostruire il numero 1234 a partire dai coefficienti 3, 4, 1, 2
che, nell’ordine, moltiplicano le potenze di 7. Scriveremo 1234 = (3412)₇ per rappresentare la forma polinomiale. Per essere precisi dovremmo scrivere (1234)₁₀ . Per semplicità, se la base non è esplicitamente indicata si intenderà sempre la base 10.

Passare da una base all’altra.

1. Per individuare la scrittura decimale di un numero di cui conosciamo la scrittura in una data base:
• a partire dalla scrittura in una base assegnata, formiamo la scrittura in forma polinomiale
• valutiamo la forma polinomiale svolgendo esplicitamente i calcoli.
Esempio: (10111)₂ = 1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2 + 1 = 16+4+2+1 = 23.

2.Viceversa per individuare la scrittura in una data base di un numero n di cui conosciamo la scrittura decimale occorre procedere con una serie di divisioni.
Chiamiamo a la base utilizzata per illustrare la procedura.
• a partire dalla scrittura decimale, dividiamo n per a calcolando il risultato e il resto.
• procediamo continuando, ad ogni passo, a dividere per a il risultato della divisione precedente.
• interrompiamo quando il risultato è 0.
• Per ottenere la scrittura in base a di n, ricopiamo da sinistra a destra tutti i resti ottenuti, dall’ultimo al primo.

Esempio: Riscrivere 29 in base 3.

29 = ( 1002)₃

Somma di due numeri in base arbitraria
Poichè la scrittura in base arbitraria è posizionale, per calcolare la somma è possibile
utilizzare il consueto metodo (o algoritmo) di calcolo. L’unica differenza da tenere a
memoria è che il “riporto” viene utilizzato non appena si ottiene una cifra maggiore o
uguale alla base utilizzata.

Sottrazione tra due numeri in base arbitraria
Analogamente alla somma, per calcolare la differenza è possibile utilizzare il consueto
metodo (o algoritmo) di calcolo. Come prima, occorre sempre ricordarsi quale è la base
utilizzata.

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