Geometria analitica. Esercizi svolti sull’ellisse . Poligoni inscritti e circoscritti

L’ellisse

Esercizi svolti sull’ellisse . Poligoni inscritti e circoscritti

Quadrato inscritto in un’ellisse

ESERCIZIO 1

Determina la misura del lato del quadrato inscritto nell’ellisse di equazione:

 

SOLUZIONE

Mettiamo a sistema l’equazione dell’ellisse e della bisettrice del primo e terzo quadrante:

 

da cui il lato del quadrato inscritto:

Quadrato circoscritto ad un’ellisse

ESERCIZIO 2

Determina la misura del lato del quadrato circoscritto all’ellisse di equazione:

 

SOLUZIONE

Ricerca dell’equazione della retta, inclinata di 45° “in discesa” e tangente all’ellisse nel 1° quadrante:

 

lato quadrato circoscritto:

(in un triangolo con  gli angoli di 90°, 45°, 45°, si ha    ipotenusa = cateto × √2)

Rettangolo inscritto in un’ellisse

ESERCIZIO 3

Data l’ellisse:

determinare l’area del rettangolo inscritto, avente due lati passanti per i fuochi.

SOLUZIONE

 

ESERCIZIO 4

Nell’ellisse di equazione:

determina le coordinate del suo punto più vicino alla retta y = 7 – x .

SOLUZIONE

Facendo un disegno, ci si rende conto che si tratta del punto P di contatto con l’ellisse, di una delle due tangenti alla curva parallele alla retta data e quindi aventi coefficiente angolare  m = -1.

 

Ma una generica retta di coefficiente angolare -1 ha equazione della forma

y = –x + k 

poniamo dunque tale equazione a sistema con l’equazione dell’ellisse, allo scopo di determinare il valore di k per il quale si ha tangenza.

Condizione di tangenza:

Semplificando per 25 :

(la soluzione < 0 viene esclusa : corrisponderebbe al punto più LONTANO)

Con k =√ 41, la retta è y = –x + 41 e le coordinate del punto P di intersezione fra la retta e l’ellisse si possono ricavare ponendo k = √ 41 nell’equazione risolvente del sistema:

Si ha, pertanto:

 

 

 

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