Supponiamo ora di suddividere l’anno in n periodi di egual durata, al termine di ciascuno dei quali viene corrisposta una frazione n-esima dell’interesse relativo all’intero anno e supponiamo che al termine di ogni periodo il capitale raggiunto possa essere immediatamente reinvestito, alle stesse condizioni. Dunque, dopo il primo degli n periodi si avrà un capitale parziale pari a
dopo il secondo periodo il capitale ammonterà a
Al termine dell’anno, dopo tutti gli n periodi, il capitale ottenuto vale
Ci chiediamo:
• se sia più conveniente un investimento con capitalizzazione unica o frazionaria,
• di quanto il capitale possa essere eventualmente incrementato, scegliendo un regime di capitalizzazione frazionaria, per un numero n di frazioni molto grande.
Per rispondere a tali questioni dobbiamo studiare il comportamento della successione
e possibilmente valutarne il limite per n → + ∞. Ciò non è affatto immediato in quanto, scrivendo, ad esempio
l’espressione ad esponente presenta una forma indeterminata del tipo ∞ * 0.
Un primo fondamentale risultato in questa direzione è espresso dal seguente
Teorema
La successione
è non decrescente e limitata e quindi convergente. Il suo limite si chiama numero di Nepero.
Stima del numero di Nepero
Il numero di Nepero, definito nel teorema precedente, si denota con la lettera e.
Dunque, per definizione:
Il numero e è una delle costanti matematiche fondamentali. Il suo valore è, approssimativamente,
e è un numero irrazionale (si noti che e è definito come limite di numeri razionali).
Esempio
Determinare il carattere della serie
cioè la successione nn diverge più rapidamente della successione dei fattoriali.
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