Un test è composto da 20 domande; ciascuna domanda ha 4 risposte possibili, di cui una sola è corretta.
Rispondendo a caso al test, qual è la probabilità di superarlo, se occorrono almeno 12 risposte corrette?
Soluzione
Il quesito richiede di calcolare la probabilità di ottenere un dato numero di successi in un certo numero di prove.
E’ evidentemente risolvibile utilizzando la funzione di distribuzione binomiale,
infatti:
Indice
COS’E’ LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Si dice esperimento di Bernoulli una sequenza di n prove con le seguenti caratteristiche:
1) il risultato di ogni prova può essere solo “successo” o “fallimento”;
2) il risultato di ciascuna prova è indipendente dai risultati delle prove precedenti;
3) la probabilità p di “successo”, e quindi la probabilità q = 1 – p di “fallimento”, sono costanti in ciascuna prova.
La distribuzione binomiale in Excel
Come si imposta il problema in Excel
L’esercizio consiste nel calcolare la P(X ≥ 12), ossia che i successi X siano ALMENO 12.
Ciò corrisponde ad effettuare il seguente calcolo:
1 – P (X≤ 11)
Inseriamo i parametri nel nostro foglio di Excel:
Successivamente impostiamo la funzione DISTRIB.BINOM.N()
Cumulativo è il valore logico che determina il tipo di funzione calcolata.
- Se il valore cumulativo è VERO,
DISTRIB.BINOM.N()restituirà la funzione di ripartizione, ossia la probabilità di ottenere un numero di successi minore o uguale al valore num_successi. - Se il valore cumulativo è FALSO, verrà restituita la distribuzione di probabilità, ossia la probabilità di ottenere un numero di successi uguale al valore num_successi.
inserendo i nostri parametri:
Avremo:
P(X>= 12) =1 -DISTRIB.BINOM.N(11;B3;B4;VERO)
Dunque, la probabilità di superare il test è (1- 0,999064608) =0,000935392 = 0,09%
Esercizio 2
Se si conosce la risposta corretta a 4 domande, qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle altre?
Soluzione
In questo caso il numero di prove sarà 20-4 = 16 e dovremo stimare la probabilità P(X>=8 = (12-4)):
Avremo:
P(X>= 8) =1 -DISTRIB.BINOM.N(7;B3;B4;VERO)
Conoscendo la risposta a quattro domande la probabilità sale al 2,71%
Esercizio 3
Calcolare le probabilità di rispondere (a caso) esattamente a 0, 1, 2, 3, …, 20 domande e disegnare il grafico della distribuzione.
Soluzione
La variabile aleatoria X indica il numero di successi e può assumere i valori da 0 a 20;
costruiamo la tabella in cui si indicano tutti i valori della variabile aleatoria, ossia tutti i possibili numeri di successi, e le corrispondenti probabilità.
In questo caso, poniamo il valore cumulativo = FALSO, perchè ci interessa la probabilità di ottenere un numero di successi uguale al valore num_successi.
Servendosi della tabella così costruita si può realizzare il grafico (diagramma a barre o istogramma):
Il grafico è asimmetrico positivamente (distribuzione obliqua a destra);
l’asimmetria dipende dal valore della probabilità di successo, che è minore di 0,5.
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