EQUAZIONI LINEARI DEL 1° ORDINE

Si definiscono equazioni lineari del 1° ordine le equazioni del seguente tipo:

 y’(x) = a(x) y + b(x) ,

dove a(x) e b(x) sono funzioni continue di x.
In particolare, se b(x) è identicamente nulla, l’equazione si dice omogenea, altrimenti si dice non omogenea.

Occupiamoci dapprima dell’equazione lineare omogenea del 1° ordine:
 y’(x) = a(x) y .
Si integra per variabili separate. Infatti può essere scritta nel seguente modo:

e perciò, dopo aver integrato:

dove k è una costante arbitraria. Da qui, indicata con A(x) una primitiva di a(x), si ottiene:

e perciò:
y = k e^A(x)               (*)
,
che è l’integrale generale dell’equazione.

Domanda: considerando k non più costante ma funzione di x, si può scegliere k(x) in modo che la (*) risulti soluzione della nostra equazione?

Per controllare incominciamo a calcolare y’. Allora, dalla (*), supponendo che k=k(x), si ha:

y′ = k′(x) e^A(x) + k(x) A′(x) e^A(x)

ossia, ricordando che A(x) è una primitiva di a(x) e perciò A’(x)=a(x):

y′ = k′(x) e^A(x) + k(x) a(x) e^A(x)
.
Sostituendo nell’equazione  al posto di y’(x) e di y i valori ottenuti dalla (*) e tenendo presente che invece di k si considera k(x), si ottiene:

k′(x) e^A(x) + k(x) a(x) e^A(x) = a(x) k(x) e^A(x) + b(x);

da cui, una volta cancellati nei due membri i termini uguali a(x) k(x) e^A(x), segue:

k′(x) = b(x) e^−A(x)
e infine:

In definitiva, sostituendo nella (*), si ottiene il seguente integrale generale:

 con A(x) primitiva di a(x)

 che è l’integrale generale dell’equazione differenziale y’ = a(x)y + b(x).

Esempio:

Calcoliamo l’integrale generale della seguente equazione differenziale:
y’ = x (1 – y) , 

dove y è funzione di x.
Con riferimento alla y’ = a(x)y+b(x)  ed al suo integrale generale visto sopra, nel caso specifico si ha:
a(x) = – x, b(x) = x;
per cui, osservato che una primitiva di –x è −x²/2, si ha intanto:

si tratta allora di trovare l’integrale:

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