INTEGRAZIONE PER VARIABILI SEPARABILI
Le equazioni differenziali dei tipi (1),(2),(5) viste in precedenza sono casi particolari di un’equazione che può mettersi nella seguente forma generale:
dove a è una costante ed f(x), g(y) sono funzioni di x e di y rispettivamente.
In quest’equazione le variabili x, y possono essere separate, Sicché l’equazione sopra , a patto che sia g(y)≠0, può scriversi
così:
Da qui, integrando entrambi i membri, si trova:
Se si sanno calcolare questi due integrali, si sa integrare l’equazione differenziale.
Facciamo notare, per inciso, che se y0 è uno zero di g(y), vale a dire se g(y0)=0, la funzione y(x)=y0 è soluzione dell’equazione . Si verifica infatti che i due membri di tale equazione sono entrambi nulli.
ESERCIZIO1:
Determinare la soluzione dell’equazione differenziale:
(x2 +1)y’ + y2 = 0
SOLUZIONE:
ESERCIZIO2:
Risolvere il seguente problema di Cauchy:
SOLUZIONE:
Esercizio3:
Vi ricordate dell’equazione (2) vista in precedenza, relativa alla legge di decadimento di una sostanza radioattiva? Essa si può scrivere così:
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