Statistica. Stimare l’attendibilità di un sondaggio e la numerosità minima del campione

Esercizio

Si vuole condurre un sondaggio per conoscere la risposta di una popolazione molto numerosa ad una certa proposta e, a tale scopo, si interpella un campione della popolazione. Si assume che il campione rispecchi gli orientamenti della popolazione e che tutti dicano la verità.
Si vuole che un risultato del sondaggio in cui

(percentuale dei SI maggiore del 52%) consenta di ipotizzare un orientamento favorevole della maggioranza

 

con un’attendibilità pari al 99%.

 Si assuma che la distribuzione di probabilità della percentuale dei SI sia approssimabile con una distribuzione normale e si effettui un test ad una coda. Determinare la numerosità minima del campione.

Soluzione

Si ricordi che il livello di significatività α del test è il rischio cli rifiutare una certa ipotesi nel caso in cui essa è vera.

In questo esercizio α è il rischio di escludere un orientamento favorevole della maggioranza nel caso in cui questo orientamento si verifichi; in altre parole α = 1 %.

Si consideri la variabile aleatoria X che assume i valori

Quando si considerano n estrazioni di questa variabile aleatoria si ottiene, come è ben noto, una distribuzione binomiale; sia K la variabile aleatoria discreta che descrive la “probabilità che, su n ripetizioni, k diano come risultato 1 e ( n – k) diano come risultato 0” , la sua distribuzione risulta essere:

COS’E’ LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE

La quantità N_SI/N è una media campionaria per la variabile aleatoria X :

In questo caso quindi:

Vale il seguente teorema:

Se {X_i} è una successione di variabili indipendenti, tutte con la stessa distribuzione e con

E{X_i} = µ

σ²{X_i} = σ²

allora per la successione

vale:

qualunque sia la distribuzione delle variabili x_i.

Quindi, in questo caso, la variabile aleatoria Y, che conta il numero dei SI nel sondaggio, ha la seguente densità di probabilità

Equazione della curva normale

Si osservi che il sondaggio è una stima; per stimare, basandosi su un campione, che una certa percentuale della popolazione si esprima per il SI, basta semplicemente contare. Se invece si vuole misurare l’attendibilità del sondaggio, è necessario conoscere la distribuzione di probabilità della variabile Y ; data f(y) è quindi possibile calcolare la probabilità di quel risultato (almeno il 52% è per il SI) del sondaggio.

Fatta questa osservazione si determina il valore di N per cui vale:

Standardizzando:

Interpolando opportunamente si ottiene

 

da cui, risolvendo:

quindi serve un campione di numerosità N > 3383.

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