Calcolo integrale – temi d’esame

Esercizio 1

Si consideri la funzione:

Si determinino:

1. la derivata prima di f:
2. l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (1, 0):
3. il limite di f per x → +∞

Soluzione

1)

Per risolvere questo esercizio ci riferiremo al

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia f una funzione continua sull’intervallo [a;b ]; allora la funzione integrale

è derivabile ∀ x ∈ [a;b ] e risulta F ‘(x) = f (x) .

Definizione  di primitiva

Si definisce primitiva della funzione f la funzione integrale F tale che F ‘(x) = f (x).

Segue da questa definizione che le primitive sono infinite e differiscono tra loro per una costante.

In particolare:

Corollario (formula fondamentale del calcolo integrale)

Nelle ipotesi del teorema fondamentale del calcolo integrale si ha la seguente relazione:

 

Esempio 

è derivabile in ogni x>0 e

Per il teorema sulla derivata della funzione composta si ha anche che

questo per ogni x≠0.

 

 

⇒ Dunque, nel nostro caso, la derivata prima di f è:

Tabella delle derivate fondamentali

 

2)

l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (1, 0) è:

La formula di Taylor e alcune sue applicazioni. Criteri di convessità/concavità

3)

il limite di f per x → +∞ é:

Esercizio 2

Posto

si determini una primitiva F di f sull’intervallo [0, +∞[.

Soluzione

Le radici del polinomio a denominatore sono −1, i e −i, ognuna avente molteplicità 1.

Pertanto si ha:

Ripassiamo l’integrazione di funzioni razionali fratte

Quindi risulta

L’insieme delle primitive di f su [0, +∞[ è:

con c ∈ R.

Esercizio 3

Si consideri, per x > 1, la funzione:

1.  Si determinino derivata prima e seconda di f(x).
2. Si studi la concavità, la convessità e l’esistenza di punti di flesso di f.

Soluzione

1)

2)

Essendo

f ”(x) < 0 per x ∈]1, e[,

f ”(e) = 0,

f ”(x) > 0 per x ∈]e, +∞[,

si ha che f è concava in ]1, e[, convessa in ]e, +∞[ e che il punto e è di flesso ascendente.

Crescenza, decrescenza di una funzione e il caso dei punti stazionari

Esercizio 4

Si discuta la convessità della funzione integrale:

Soluzione

Si tratta di applicare il teorema fondamentale del calcolo alla funzione integrale:

Esercizio 5

Si consideri la funzione:

1. Si determini l’insieme delle primitive di f sull’intervallo [0, 1[.
2. Si determini l’insieme delle primitive di f sull’intervallo ]1, 2].
3. Si calcoli l’integrale generalizzato 

Soluzione

1)

2)

3)

Si ha:

Gli integrali impropri

Esercizio 6

Si consideri, per x > 0, la funzione

1. Si determinino derivata prima e derivata seconda della funzione.
2. Si studi la concavità, la convessità e l’esistenza di punti di flesso di f.

Soluzione

1)

2)

Si ha f ”(x) < 0 in ]0, 1/4[, f ”(1/4) = 0, f ”(x) > 0 in ]1/4, +∞[.

Dunque f è concava in ]0, 1/4[,

f è convessa in ]1/4, +∞[,

il punto 1/4 è punto di flesso ascendente.

 

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