Binomiale
Esercizio 1
Trovate la probabilità che in 5 lanci di un dado non truccato il 3 si presenti
1. mai
2. almeno una volta
3. quattro volte
Soluzione
Sia X la variabile aleatoria che indica il numero di volte che si presenta 3.
La probabilità di successo in questo esperimento binomiale (cioè la probabilità che si presenti 3) è pari a 1/6 e consideriamo 5 ripetizioni dell’esperimento (cioè il dado viene lanciato 5 volte).
Quindi X ha una distribuzione binomiale con parametri n = 5 e p = 1/6.
Esercizio 2
Assumendo che la probabilità che nasca un maschio sia 1/2, trovate la probabilita’ che in una famiglia con 4 figli ci sia
1. almeno un maschio;
2. almeno un maschio e una femmina.
3. Consideriamo ora 4000 famiglie con 4 figli. Quante ci si aspetterebbe che abbiano almeno un maschio e una femmina?
Soluzione
Sia X la variabile aleatoria che indica il numero di figli maschi nella famiglia con 4 figli.
La v.a. X ha una distribuzione binomiale con parametri n = 4 e p = 1/2.
# Sia Z la variabile aleatoria che indica il numero di famiglie con almeno un maschio e una femmina fra le 4000 considerate. La probabilità di successo p, come ottenuto nel punto precedente e’ pari a 7/8.
La v.a. Z ha una distribuzione binomiale con parametri n = 4000 e p = 7/8.
Perciò il numero atteso di famiglie con almeno 1 maschio e una femmina è data da:
E(Z) = np = 4000(7/8) = 3500
Esercizio 3
Se il 20% dei bulloni prodotti da una certa macchina è difettoso, determinate la probabilità che, su 4 bulloni scelti a caso
1. uno sia difettoso;
2. zero siano difettosi;
3. al massimo 2 siano difettosi.
4. Trovare la media e lo scarto quadratico medio della distribuzione dei bulloni difettosi su un totale di 400 bulloni.
Soluzione
Sia X la v.a. che indica il numero di bulloni difettosi fra i 4 considerati ed ha una distribuzione binomiale con parametri n = 4 e p = 0.2.
# Sia Z la v.a. che indica il numero di bulloni difettosi su un totale di 400, e quindi Z ha una distribuzione binomiale di parametri n = 400 e p = 0.2.
Perciò abbiamo che la media è pari a
e lo scarto quadratico medio è dato da
Esercizio 4
Durante un esame a risposta multipla con 5 domande e 3 possibili risposte per ogni domanda.
1. Quale è la probabilità che uno studente azzecchi almeno 4 risposte semplicemente rispondendo a caso?
2. Quale è il numero medio di risposte azzeccate?
Soluzione
Sia X la v.a. che indica il numero di risposte azzeccate fra le 5 domande dell’esame, e quindi X ha una distribuzione binomiale di parametri n = 5 e p = 1/3.
# P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.04527
# Il numero medio di risposte azzeccate è dato da
E(X) = np = 5(1/3) = 5/3
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