Sia A l’evento che un particolare individuo è esposto ad elevati livelli di monossido di carbonio e B l’evento che è esposto ad elevati livelli
di biossido di azoto.
(a) Qual è l’evento A ∩ B?
(b) Qual è l’evento A ∪ B?
(c) Gli eventi A e B sono mutuamente esclusivi?
Soluzione
(a) A ∩ B ={individuo esposto ad elevati livelli di monossido di carbonio e di biossido di azoto}
(b) A ∪ B ={individuo esposto ed elevati livelli di monossido di carbonio o di biossido di carbonio o di entrambi}
(c) A e B non sono mutuamente esclusivi ma son indipendenti.
Esercizio 2
Si considerino le statistiche relative alla natalità della popolazione degli Stati Uniti nel 1987. In accordo con questi dati, sono di seguito riportate le probabilità dell’età al momento del parto nel 1987 di una donna selezionata casualmente
(a) Qual è la probabilità che una donna che ha partorito nel 1987 avesse un’età minore o uguale a 24 anni?
(b) Qual è la probabilità che avesse un’età maggiore o uguale a 40anni?
(c) Dato che la madre di un determinato bambino è al di sotto dei 30 anni, qual è la probabilità che non abbia ancora 20 anni?
Soluzione
(a) Sia A = avere un’età inferiore a 24 anni
allora:
P(A) = P(< 15)+P(15−19)+P(20−24) = 0.0027+0.1214+0.2824 = 0.4065 (sono mutuamente esclusivi)
Quando due eventi si dicono mutuamente esclusivi?
quando si verifica l’uno, non si può verificare l’altro.
es. nel lancio di una moneta, se è uscito l’evento Testa, non si può verificare contemporaneamente l’evento Croce
es. per l’esito di una malattia, se il paziente è guarito, non può essere ancora malato.NON mutuamente esclusivi
es. pioggia e vento: il fatto che ci sia pioggia non esclude il fatto che ci sia vento
es. nel gioco delle carte – asso e cuori: il fatto di pescare un asso non esclude che sia di cuori
(b) Sia A =avere un’età superiore a 40 anni
allora:
P(A) = P(40 − 44) + P(45 − 49) = 0.0091 + 0.0004 = 0.0095.
(c) Sia A =avere un’età inferiore a 20 anni, B = essere al di sotto dei 30 anni.
allora:
P(B) = P(< 15) + P(15 − 19) + P(20 − 24) + P(25 − 29) = = 0.0027 + 0.1214 + 0.2824 + 0.3192 = 0.7257
P(A ∩ B) = P(avere meno di 20 anni) = P(< 15) + P(15 − 19) = 0.0027 + 0.1214 = 0.1241
Quindi
Esercizio 3
Si consideri un gruppo di 7 soggetti selezionati dalla popolazione degli Stati Uniti di età compresa fra 65 e 74 anni. Il numero di soggetti diabetici in questo campione è una variabile casuale binomiale con parametri n = 7 e p = 0.125.
(a) Se si volesse fare un elenco dei 7 soggetti selezionati, in quanti modi essi potrebbero essere ordinati?
(b) Senza considerare l’ordine, in quanto modi è possibile selezionare 4 soggetti da questo gruppo di 7?
(c) Qual è la probabilità che esattamente 2 soggetti del campione siano diabetici?
(d) Qual è la probabilità che 4 soggetti siano diabetici?
Soluzione
(a) Sono le permutazioni di 7 elementi e quindi 7! = 5040.
(b) Sono le disposizioni di 7 elementi presi a 4 a 4 e quindi
leggi qui per sapere
Come risolvo gli esercizi sul calcolo delle probabilità?
(c) Qui la variabile casuale X conta il numero di soggetti diabetici. E’ una variabile casuale bernoulliana di parametri n = 5 e p = 0.125.
Quindi
(d) Analogamente:
Esercizio 4
In accordo con la National Health Survey, il 9.8% della popolazione di soggetti degli Stati Uniti di età compresa fra 18 e 24 anni è mancina.
(a) Supponete di selezionare 10 soggetti da questa popolazione. In quanti modi possono essere ordinati?
(b) Senza considerare l’ordine, in quanto modi è possibile selezionare 4 soggetti da questo gruppo di 10?
(c) Qual è la probabilità che esattamente 3 di questi 10 soggetti siano mancini?
(d) Qual è la probabilità che almeno 6 dei 10 soggetti siano mancini?
(e) Qual è la probabilità che al massimo 2 soggetti siano mancini?
Soluzione
(a) Sono esattamente 10! = 3628800.
(b) Sono esattamente
(c) Qui abbiamo una variabile casuale bernoulliana X che conta il numero di mancini. I parametri sono n = 10 e p = 9.8% = 0.098.
Allora:
(d) Qui abbiamo
(e) In questo caso:
(117)