Da un rilevamento statistico è noto che una certa popolazione è composta per il 40% da fumatori abituali. E noto inoltre che il 5% dei decessi avviene a causa di un certo tipo di tumore. Infine, si è constatato che tra quanti sono deceduti a causa di quel tipo di tumore il 60% erano fumatori abituali. Calcolare la probabilità per i fumatori abituali di morire per un tumore di quel tipo.
Soluzione
Consideriamo gli eventi:
F = {essere fumatore abituale}, N = {morire di tumore}
A priori sappiamo che:
Formula di Bayes
Esprime la probabilità condizionata di A dato B, in funzione della probabilità condizionata di B dato A.
Applicando la formula di Bayes:
La probabilità per i fumatori di morire per un tumore di quel tipo è del 7.5%.
Esercizio 2
In Italia il 44.99% della popolazione maschile soffre di una qualche malattia cronica. Sapendo che il 48.54% della popolazione italiana è maschile e che il 49.75% della popolazione soffre di una malattia cronica, qual è la probabilità che un malato cronico sia donna? L’avere una malattia cronica è un evento indipendente dal sesso o no?
Soluzione
Consideriamo gli eventi:
C = {avere una malattia cronica}, M = {essere maschio}, F = {essere femmina}
A priori sappiamo che
p(C | M ) = 0.4499, p(M) = 0.4854, p(C) = 0.4975
Applicando la formula di Bayes:
La probabilità che un malato cronico sia maschio è del 43.9%.
Pertanto
p(F | C) = 1 − p(M | C) ≈ 0.5610
cioè, la probabilità che un malato cronico sia femmina è del 56.1%.
Infine, siccome
p(C) = 0.4975 ≠ 0.4499 = p(C | M )
gli eventi C e M non sono indipendenti.
(1168)