Statistica: cosa sono i percentili ed i quartili e come si calcolano

Valori caratteristici di un insieme di dati

Oltre a media, x o µ, e deviazione standard, s o σ, esistono altri valori (puntuali) caratteristici di un insieme di dati e che forniscono ulteriori
informazioni sulla distribuzione dei dati (tendenza, centro, dispersione, asimmetrie).

• Moda (M₀): valore che ha la massima occorrenza (o frequenza) nell’insieme di dati o valore più probabile. [è il picco della distribuzione di probabilità (ci sono anche distribuzioni bi- o multi-modali)]

• Mediana (Me): è una misura del centro del campione che divide i dati in due parti uguali (tanti dati al di sopra quanti al di sotto).
Se il numero di dati è pari, la mediana è a metà tra i due valori centrali; oppure, se dispari, la mediana coincide con il valore centrale.
[è il centro, tra le aree di sx e dx sotto la distribuzione di probabilità – punto a valore 0.5 nella cumulativa – (solo per distribuzioni simmetriche sta nel mezzo della dinamica e coincide con la media)]

• Dinamica (range): differenza tra il valore massimo e il valore minimo (è anche detta escursione da minimo a massimo o picco-picco).

Percentili e quartili

• k-esimo percentile: valore superiore al k% delle osservazioni e inferiore al (100-k)%.
• Primo quartile (quartile basso o di sx): valore tale che un quarto delle osservazioni abbia un valore inferiore; corrisponde al 25-esimo
percentile.
• Secondo quartile: valore tale che due quarti delle osservazioni abbiano un valore inferiore; corrisponde al 50-esimo percentile e alla mediana.
• Terzo quartile (quartile alto o di dx): valore tale che tre quarti delle osservazioni abbiano un valore inferiore; corrisponde al 75-esimo
percentile.
• Dinamica interquartile (DIQ): differenza tra il quartile superiore (terzo) e il quartile inferiore (primo); è la distanza tra i due quartili (1°e 3°).

Interpretazione dei valori caratteristici

Le percentuali sono riferite all’area sottesa alla curva (probabilità) o anche si possono vedere come frazione del totale dei valori.

Metodo di calcolo del k-esimo percentile

Consideriamo un campione di n dati ordinati in maniera crescente.
L’indice, di posizione, del k-esimo percentile è :

Dall’indice si ricava quindi il valore esatto con un’interpolazione lineare tra i due dati con indici pari all’intero prima e dopo di I_k%

Esempio 1:

n=14 dati x_i.

Calcoliamo il 23-esimo percentile:

I_23% = (14+1)×23 /100 = 3.45 

Il valore del 23-esimo percentile sarà compreso tra il 3° ed il 4° dato (x₃ e x₄).

Numericamente poi

X_23%= x₃ + (x₄ – x₃) × 0.45 (interpolazione lineare)

Esempio 2:

n=78 dati x_i.

Calcoliamo il 25-esimo percentile (1° quartile).

I_25% = (78+1)×25 /100 = 19.75

Il valore del 25-esimo percentile sarà compreso tra il 19° ed il 20° dato (x₁₉ e x₂₀).

Numericamente poi:

X_25%= x₁₉ + (x₂₀ – x₁₉) × 0.75 (interpolazione lineare)

Calcolo dei quartili

Consideriamo ancora il campione di 80 dati (es. forza di compressione), in un diagramma a ramo-e-foglia ordinato.

L’indice del primo quartile Q₁ vale:

I_25% = (80+1)×25 /100 = 20.25

 

Dunque

Q₁= x₂₀ + (x₂₁ –x₂₀)× 0.25 == 143+(145-143) × 0.25 = 143.5

L’indice del secondo quartile Q₂ vale:

I_50% = (80+1) ×50 /100 = 40.5

Dunque Q₂ è la media tra i due dati centrali (coincide con la mediana Q₂ = 161.5).

L’indice del terzo quartile Q₃ vale:

I_75% = (80+1) ×75 /100 = 60.75

Dunque

Q₃ = x₆₀ + (x₆₁ –x₆₀) × 0.75 =

= 181+(181-181) × 0.75 = 181

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