I diametri di 20 sferette prodotte da una linea produttiva sono stati misurati.
Le misure, espresse in cm, sono:
2.08, 1.72, 1.90, 2.11, 1.79, 1.86, 1.80, 1.91, 1.82, 1.84,
2.04, 1.86, 2.04, 1.80, 1.82, 2.08, 2.04, 1.85, 2.07, 2.03.
Costruire una tabella con le frequenze assolute, relative, percentuali e cumulative. Per fare la tabella suddividere le osservazioni in classi di ampiezza 0.1, quindi {1.7 < X < 1.8}, {1.8 < x < 1.9), etc.
Soluzione
Nella seguente tabella sono state scelte classi di ampiezza 0.1:
Esercizio 2
Calcolare media, varianza e deviazione standard per i seguenti dati:
14, 12, 21, 28, 30, 63, 29, 63, 55, 19, 20.
Soluzione
Usando la formula per il calcolo della media campionaria si ottiene:
Esercizio 3
Si consideri la seguente tabella di frequenze:
Si calcoli, in base a questi dati, media, varianza e deviazione standard.
Soluzione
Ricordando che i valori X1, . . . , X5 sono i valori medi degli intervalli, si ha:
Esercizio 4
Si consideri la seguente tabella di distribuzione di frequenza:
a. Si completi la tabella riportando anche le frequenze relative, percentuali, cumulative.
b. Si rappresentino i dati mediante istogramma (attenzione: I’ultimo intervallo ha ampiezza diversa dagli altri).
Soluzione
Esercizio 5
I seguenti dati mostrano il numero mensile di interventi di manutenzione e assistenza che si sono resi necessari per un certo macchinario. Le osservazioni riguardano 25 mesi consecutivi (ad esclusione del mese di agosto).
1,5,3,1,3,2,2, 1,2,5,3,0, 1,4,3,7, 1,3, 1,7,2,1,2,4,8.
a. Costruire la tabella con le frequenze assolute, relative, cumulative di queste osservazioni.
b. Disegnare un istogramma di questi dati. Come descrivereste la forma di questa distribuzione?
c. Dire se la distribuzione é unimodale o plurimodale e, nel primo caso, determinare la moda.
d. Calcolare la media e la mediana di questi dati.
Soluzione
a)
b)
Si può osservare che la distribuzione è molto asimmetrica con una coda verso destra.
c)
La distribuzione del numero mensile di interventi ha una distribuzione bimodale con due massimi (mode): 1 e 7.
La moda
In statistica, la moda (o norma) di una distribuzione di frequenza X è la modalità (o la classe di modalità) caratterizzata dalla massima frequenza. In altre parole, è il valore che compare più frequentemente.
Una distribuzione è unimodale se ammette un solo valore modale, è bimodale se ne ammette due (ossia: se esistono due valori che compaiono entrambi con la frequenza massima nella data distribuzione), trimodale se ne ha tre, ecc.
La presenza di due (o più) mode all’interno di un collettivo potrebbe essere sintomo della non omogeneità del collettivo stesso: potrebbero cioè esistere al suo interno due (o più) sottogruppi omogenei al loro interno, ma distinti l’uno dall’altro per un’ulteriore caratteristica rispetto a quella osservata.
Se le classi hanno la stessa ampiezza, per determinare la classe modale si può ricorrere all’istogramma, individuando l’intervallo di altezza massima, ovvero il punto di massimo della curva.
La classe con la maggiore densità media (che corrisponde all’altezza dell’istogramma) è quella modale.
d)
La media è:
Per calcolare la mediana occorre mettere i valori in ordine crescente:
il valore della mediana è dato dal numero al tredicesimo posto, cioè 2.
Esercizio 6
Quelli che seguono sono i minuti che una persona ha dovuto aspettare per prendere l’autobus in 15 giorni lavorativi:
10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 19, 3, 8, 6, 17, 2, 10, 15.
Determinare: la media, la varianza, la mediana, i quartili; tracciare un boxplot.
Soluzione
Per calcolare la media e la varianza basta applicare le formule standard:
Per trovare la mediana e i quartili, occorre ordinare i dati in ordine crescente:
La mediana é data dal dato in ottava posizione, cioè 9.
Poiché 15 • 0.25 = 3.75 il primo quartile Q1 è dato dal quarto dato, cioè = 3.
II secondo quartile coincide con la mediana Q2 = 9,
mentre poiché 15 • 0.75 = 11.25 il terzo quartile è dato dal dodicesimo dato Q3 = 13.
Si ottiene quindi il seguente boxplot:
Il boxplot
Viene rappresentato (orientato orizzontalmente o verticalmente) tramite un rettangolo diviso in due parti, da cui escono due segmenti. Il rettangolo (la “scatola”) è delimitato dal primo e dal terzo quartile, e diviso al suo interno dalla mediana. I segmenti (i “baffi”) sono delimitati dal minimo e dal massimo dei valori.
In questo modo vengono rappresentati graficamente i quattro intervalli ugualmente popolati delimitati dai quartili.
Esercizio 7
Le precipitazioni, espresse in pollici, per alcune città U.S.A. nel mese di aprile di un certo anno, sono:
2.9, 3.7, 3.2, 4.0, 3.9, 2.1, 2.9, 2.9, 1.1, 0.4, 3.0, 3.3,
3.2, 1.0, 2.2, 5.4, 3.5, 3.6, 4.0, 0.7, 2.8, 1.8, 1.5, 2.7,
4.0, 4.0, 3.0, 2.2, 3.3, 3.8, 2.6, 2.2, 4.2, 5.4, 4.8, 1.8.
a. Costruire uno stem and leaf display, suddividendo ogni unità in due classi.
b. Costruire un istogramma avente le stesse classi utilizzate nello stem and leaf display, e un altro avente intervalli di ampiezza doppia. La distribuzione appare simmetrica o asimmetrica? Unimodale o plurimodale? In base all’istogramma, stimare (senza fare calcoli) la media delle osservazioni. Calcolarla poi analiticamente.
c. Sapendo che l pollice= 2.54cm., calcolare la media e la varianza in cm.
Soluzione
a)
Diagramma stem and leaf ( diagramma rami-foglie)
b)
L’ampiezza delle classi nello stem and leaf display e 0.5.
Nella figura seguente sono rappresentati gli istogrammi dei dati prendendo come ampiezza delle classi rispettivamente 0.5 e 1.
La distribuzione appare unimodale e asimmetrica, con una coda più lunga a sinistra. Dall’istogramma la media sembra essere circa 3.
II calcolo preciso da come risultato:
c)
Calcoliamo prima la varianza in pollici:
(432)