Indice

Impariamo a contare.

Lo scopo di questo capitolo è quello di dare una prima infarinatura sulle tecniche per imparare a contare.

Vogliamo avere a disposizione strumenti che ci permettano in modo rapido ed efficiente di dire, ad esempio, quanti sono i numeri di tre cifre che si possono formare con le dieci cifre arabe (che può essere la combinazione di una cassaforte), quanti sono i possibili esiti di due lanci consecutivi di un dado (non truccato!), in quanti modi possono disporsi tre persone su tre posti adiacenti su un aereo,…

Problemi concreti in cui è indispensabile saper contare in modo efficiente sono all’ordine del giorno, e sorgono in qualsiasi contesto. Ad esempio, in molti modelli fisici, chimici, ingegneristici si può parlare realisticamente solo di insiemi finiti di oggetti che interagiscono in combinazione tra loro, e allora è necessario poter contare i modi in cui tali oggetti possono essere raggruppati oppure ordinati secondo determinate regole.

Il concetto di Evento

Un concetto di primaria importanza nella teoria del calcolo delle probabilità è quello di evento. Si pensi al lancio di un dado: qualsiasi affermazione sul possibile risultato del lancio non può essere prevista a priori: ogni risultato è quindi incerto ( aleatorio). Ogni punteggio possibile ( 1,2,3,…6) è un evento aleatorio, come lo sono anche tutte le possibili affermazioni ( ” il risultato è un numero pari”, ” il risultato è maggiore di 3″ etc).

Per evento si intende quasiasi fatto fisico o concettuale che viene descritto ( a parole) da un enunciato che ammetta due soli valori logici: vero o falso.

Generalmente gli eventi descrivono il risultato di un esperimento: il lancio di un dado, il lancio di una moneta, il numero di pezzi difettosi in un lotto di produzione, quindi per ogni esperimento, benchè risulti impossibile prevederne il risultato, è invece possibile enumerare o descrivere l’insieme di tutti i risultati (esiti)possibili.

Per il lancio di un dado, l’insieme di tutti gli esiti possibili è {1,2,3,4,5,6}: l’evento esce un numero pari comprende quindi {2,4,6}.

Per il lancio di due monete, l’insieme di tutti gli esiti è {TT,TC,CT,CC}, l’evento “escono due teste” comprende solo {TT}.

L’insieme di tutti gli esiti possibili è chiamato spazio dei risultati e viene indicato con S: qualsiasi evento può essere visto come sottoinsieme di S.

Di conseguenza,anche l’intero spazio dei risultati e l’insieme vuoto ø sono da considerarsi eventi, chiamati rispettivamente evento certo ed evento impossibile.

Poichè gli eventi sono insiemi è possibile operare su di essi mediante le usuali operazioni insiemistiche di unione, intersezione e complementazione.

Se E ed F sono eventi allora:

L’evento opposto ( o complementare )E^cè un evento vero se E è falso. In altre parole, due eventi si dicono opposti quando il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro e viceversa.

Dal lancio di una moneta, si possono verificare due eventi tra loro opposti: l’uscita di “testa” e l’uscita di “croce”.

L’evento unione E∪F è un evento vero se almeno uno dei due eventi è vero.
L’evento intersezione E∩F è un evento vero se entrambi gli eventi sono veri.

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Richiami di teoria degli insiemi

Richiamiamo brevemente, per completezza, gli elementi della teoria degli insiemi utili all’interno di questo capitolo.

Un insieme può essere inteso come un raggruppamento di oggetti ben distinti dal nostro intelletto: in pratica un insieme è determinato ogni qual volta è possibile decidere, comunque dato un oggetto, se esso appartiene o meno all’insieme. Indicheremo gli insiemi con lettere latine maiuscole ( $A, B, . . .$

Due insiemi si dicono uguali se e solo se contengono gli stessi elementi. Gli elementi di un insieme (a meno che non siano espliciti) solitamente sono indicati con delle lettere latine minuscole ( $a, b, . . .$ Per dire che un elemento a appartiene all’insieme $A$ si scrive $a \in A$

Se un insieme è finito, allora si può descrivere elencandone gli elementi. Ad esempio, l’insieme $A$ dei naturali minori o uguali a 3 si può indicare con $A = {0, 1, 2, 3}$ . Altrimenti, possiamo descrivere in generale un insieme tramite le proprietà che sono soddisfatte solo dai suoi elementi. Ad esempio $A = {n \in N : n \leq 3}$ .

Dati due insiemi $A, B$ diremo che $A$ è un sottoinsieme di $B$ e scriveremo $A \subseteq B$ se ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$ , ovvero $a \in A \Rightarrow a \in B$

Dati due insiemi $A, B$ si definisce l’intersezione di $A$ con $B$ l’insieme $A \cap B = {x : x \in A e x \in B}$ , e l’unione di $A$ con $B$ l’insieme $A \cup B = {x : x \in A o x \in B}$ .

Dati due insiemi $A, B$ la differenza di $A$ con $B$ è l’insieme $A ∖ B = {x \in A : x \notin B}$ .

Dato un insieme $A$ , si definisce insieme delle parti di $A$ , indicato con $P (A)$ , l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di $A$ .

Dati due insiemi $A, B$ , il loro prodotto cartesiano è l’insieme $A \times B = {(a, b) : a \in A, b \in B}$ , ovvero l’insieme delle coppie ordinate $(a, b)$ con $a \in A$ , $b \in B$ .

Dati $n$ insiemi $A_{1}, . . ., A_{n}$ , il loro prodotto cartesiano è l’insieme $A_{1} \times \dots \times A_{n} = {(a_{1}, . . ., a_{n}) : a_{1} \in A_{1}, . . ., a_{n} \in A_{n}},$ ovvero l’insieme delle $n$ -uple ordinate $(a_{1}, . . ., a_{n})$ con $a_{i} \in A_{i}$ , $i = 1, . . . n$ .

Dato un insieme finito

A

, la sua cardinalità è il numero dei suoi elementi, e si indica con

| A |

. Ricordiamo i seguenti fatti:

Se $A$ e $B$ sono disgiunti ( $A \cap B = \emptyset$ ), allora $| A \cup B | = | A | + | B |$ ;
$| A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B |$ ;
Se $A \subset U$ ed $U$ è un insieme finito, allora $| A^{c} | = | U | - | A |$ , dove $A^{c} = {x \in U : x \notin A}$ ;
Se $A$ è un insieme finito, allora $| P (A) | = 2^{| A |}$ ;
$| A_{1} \times \dots \times A_{n} | = | A_{1} | \times \dots \times | A_{n} |$ .

Esercizio 1

Esprimere ciascuno dei seguenti eventi in termini degli eventi A, B, C.
1. Almeno un evento si verifica.
2. Al più un evento si verifica.
3. Nessun evento si verifica.
4. Tutti gli eventi si verificano.
5. Si verifica esattamente un evento.
6. Due eventi su tre si verificano.
7. O si verifica A, oppure, se non si verifica A, neppure B si verifica.

Soluzione.
1. A ∪ B ∪ C.
2. (A ∩ Bc ∩ Cc) ∪ (Ac ∩ B ∩ Cc) ∪ (Ac ∩ Bc ∩ C) ∪ (Ac ∩ Bc ∩ Cc).
3. Ac ∩ Bc ∩ Cc.
4. A ∩ B ∩ C.
5. (A ∩ Bc ∩ Cc) ∪ (Ac ∩ B ∩ Cc) ∪ (Ac ∩ Bc ∩ C).
6. A ∪ (Ac ∩ Bc)

Le regole di De Morgan

La prima legge di De Morgan afferma che il complementare dell’intersezione di due insiemi è uguale all’unione del complementare del primo insieme con il complementare del secondo insieme.

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La seconda legge di De Morgan afferma che il complementare dell’unione di due insiemi è uguale all’intersezione del complementare del primo insieme col complementare del secondo.

Un primo approccio

Consideriamo un’estrazione in successione di $3$ numeri della tombola, tenendo conto dell’ordine. Contare tutti i possibili esiti.

Soluzione.

I numeri della tombola sono $90$ , e vogliamo contare tutte le terne ordinate di numeri da $1$ a $90$ . Se dopo ogni estrazione il numero estratto non viene reinserito nel sacchetto dei numeri, avremo terne di numeri distinti; se invece reinseriamo nel sacchetto il numero estratto avremo terne con possibili ripetizioni.

Possibili risultati sono, ad esempio(1,2,48), (49,2,17), etc. in caso di estrazione senza rimpiazzo; oppure anche terne come (48,2,48),(49,49,49), etc. in caso di estrazioni con rimpiazzo. Il nostro scopo però è quello di dare il numero totale di possibili esiti senza doverli elencare tutti. Enunceremo in seguito un principio generale (detto principio di moltiplicazione) per risolvere immediatamente questo tipo di problemi.

Caso senza rimpiazzo: osserviamo che data una terna $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ di elementi di $I_{90}$ , abbiamo $90$ scelte per $a_{1}$ . Una volta fissato $a_{1}$ , ci restano $89$ scelte per $a_{2}$ . Una volta fissato anche $a_{2}$ , restano $88$ scelte per $a_{3}$ .

In definitiva il numero possibile di esiti è $90 \times 89 \times 88 = 704880$ .

Caso con rimpiazzo: data una terna $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ di elementi di $I_{90}$ , abbiamo $90$ scelte per $a_{1}$ _, 90 per $a_{2}$ e $90$ per $a_{3}$ .

In definitiva il numero possibile di esiti è $90 \times 90 \times 90 = 729000$ .

Altro esempio:

Calcoliamo il numero di coppie ordinate (a,b) contenenti un numero primo ed uno non primo compresi tra 1 ed 8.

Soluzione. I numeri primi tra 1 ed 8 sono {2,3,5,7}, mentre i numeri non primi tra 1 ed 8 sono {1,4,6,8}. Nella prima fase scegliamo come primo elemento della coppia ordinata un qualsiasi elemento di I₈: 8 possibilità. Nella seconda fase scegliamo il secondo elemento della coppia ordinata; se il primo elemento era un numero primo dobbiamo scegliere un numero in {1,4,6,8}, altrimenti dobbiamo scegliere un numero in {2,3,5,7}: in ogni caso vi sono 4 possibilità. Data una coppia ordinata composta da un numero primo e da uno non primo compresi tra 1 e 8 risaliamo facilmente al numero scelto nella prima fase (la prima componente della coppia) e a quello scelto nella seconda fase (la seconda componente della coppia).

il numero di coppie cercate è 8×4=32, ovvero ci sono 32 coppie ordinate formate da un elemento primo ed uno non primo tra 1 ed 8.

Sequenze

Definiamo le $k$ -sequenze di $I_{n}$ .

Nella definizione di $k$ -sequenza l’ordine degli elementi della $k$ -upla è importante. Ad esempio le 3-sequenze $(2, 1, 3)$ e $(3, 1, 2)$ sono diverse anche se sono formate dai medesimi numeri. Specifichiamo che le $k$ -sequenze vengono chiamate più comunemente disposizioni di $n$ oggetti a $k$ a $k$ . Ad ogni modo il termine sequenza rende meglio l’idea del fatto che viene tenuto conto dell’ ordine con cui vengono sistemati in successione gli oggetti $a_{1}, . . ., a_{k}$

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Sequenze: esempio 1

Sia $I_{4} = {1, 2, 3, 4}$ . Allora

(1, 2, 3, 3, 4), (1, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 3, 4) sono 5 -sequenze di I 4 .

Invece $(1, 2, 3), (1, 1, 1), (2, 3, 4)$ sono $3$ -sequenze di $I_{4}$ .

Notiamo che possiamo avere o meno delle ripetizioni di elementi.

Le permutazioni

Numero di sottoinsiemi e il binomiale

Finora abbiamo considerato k-sequenze di I_n, ovvero k-uple ordinate di elementi di I_n. Vogliamo contare ora il numero di sottoinsiemi di k elementi di I_n. In questo caso l’ordine non ha più importanza. Ad esempio, se consideriamo l’insieme I3={1,2,3}, il sottoinsieme {1,2} coincide col sottoinsieme {2,1}: essi hanno gli stessi elementi. Quando parliamo di sottoinsiemi, essi sono distinti esclusivamente dagli elementi che vi appartengono, non dall’ordine con cui questi compaiono in una loro eventuale descrizione.

In molti testi, un sottoinsieme di k elementi di un insieme di n elementi viene chiamato combinazione (semplice, ovvero senza ripetizioni) di n elementi a k a k.

Abbiamo prima bisogno di richiamare il concetto di binomiale.

Ripassa il coefficiente binomiale

Possiamo ora enunciare il seguente risultato.

Notiamo che il risultato è stato enunciato per sottoinsiemi di k elementi di I_n ma chiaramente si applica a qualsiasi sottoinsieme di k elementi di un insieme X di n elementi: è sufficiente identificare l’insieme X con l’insieme In etichettando ciascun elemento di X con un numero da 1 ad n.

Numero di sottoinsiemi e il binomiale: esempi

Altro esempio:

Ripassiamo le Combinazioni semplici

Ripassiamo le Combinazioni con ripetizione

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Calcolo delle probabilità

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