Esempio di procedimento inferenziale bayesiano

La probabilità soggettivista (Bayesiana)

La probabilità classica e quella frequentista hanno una caratteristica fondamentale in comune:

entrambe richiedono che i vari eventi possano essere ripetuti e verificati in condizioni uniformi o approssimativamente tali.

In altri termini, si richiede che quanto avvenuto nel passato possa ripetersi in futuro.

Ma esistono anche fenomeni che non possono assolutamente essere ridotti a queste condizioni generali, perché considerati eventi unici od irripetibili. Per esempio, come è possibile rispondere alle domande: “Quale è la probabilità che avvenga una catastrofe o che entro la fine dell’anno scoppi la terza guerra mondiale? Quale è la probabilità che una specie animale o vegetale a rischio effettivamente scompaia? Quale è la probabilità che un lago, osservato per la prima volta, sia effettivamente inquinato?”.
E’ il caso del medico che deve stabilire se il paziente che sta visitando è ammalato; di una giuria che deve emettere un giudizio di colpevolezza o di assoluzione; di tutti coloro che devono decidere inmtante situazioni uniche, diverse ed irripetibili.
Sono situazioni che presuppongono
– il giudizio di numerosi individui sullo stesso fenomeno oppure la stima personale di un solo individuo sulla base di un suo pregiudizio o della sua esperienza pregressa.
Il valore di probabilità iniziale non è fondato né sulla logica matematica né su una serie di esperimenti.
Nella teoria della probabilità si sono voluti comprendere anche questi fenomeni non ripetibili. Da questa scelta, deriva un’altra concezione della probabilità: quella soggettiva o personalistica.

L’obiezione fondamentale a questa probabilità logica è come misurare un grado di aspettativa, quando è noto che individui diversi attribuiscono probabilità differenti allo stesso fenomeno. E’ una critica che viene superata dall’approccio soggettivo, secondo il quale
– la probabilità è una stima del grado di aspettativa di un evento, secondo l’esperienza personale di un individuo.

L’approccio bayesiano

La probabilità nell’impostazione soggettivista, detta anche “bayesiana”, viene intesa come una misura della convinzione circa l’esito di una prova o che accada un certo evento. E’ un approccio che ha vaste ed interessanti applicazioni nelle scienze sociali ed in quelle economiche, dove la sola attesa di un fenomeno o la convinzione di una persona influente sono in grado di incidere sui fenomeni reali, come la svalutazione, i prezzi di mercato, i comportamenti sociali. In medicina, è il caso delladecisione sulla cura da prescrivere al paziente.
Per la statistica, il problema fondamentale consiste nell’indicare come si debba modificare la probabilità soggettiva di partenza, in dipendenza dei successivi avvenimenti oggettivi, quando non si dispone di repliche.

Per coloro che ritengono che il mondo esterno sia una realtà oggettiva, conoscibile ed indipendente da loro, la conoscenza obiettiva non può derivare da convinzioni personali o da preferenze individuali; pertanto, l’approccio soggettivo non sarebbe attendibile, in quanto non permetterebbe la conoscenza oggettiva del reale.
Questa varietà e contrapposizione di concetti sul significato più esteso e comprensivo di probabilità, si riflettono sulla interpretazione delle stime ottenute da dati sperimentali; ma gli aspetti formali del calcolo variano solo marginalmente.

Nel contesto delle scienze sperimentali, esistono casi di applicazione della probabilità soggettiva; in particolare, quando si tratta di scegliere una strategia o prendere una decisione.

Il teorema di Bayes (1702-1761) pubblicato nel 1763 (nel volume Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chance), due anni dopo la morte dell’autore (il reverendo Thomas Bayes), si fonda su probabilità soggettive. Spesso è presentato come alternativo alla inferenza statistica classica, detta anche empirica.
Più recentemente, sono stati sviluppati metodi quantitativi che incorporano l’informazione raccolta anche con dati campionari. E’ quindi possibile correggere la stima di una probabilità soggettiva originaria, detta probabilità a priori, mediante l’informazione fornita da successive rilevazioni campionarie, per ottenere una probabilità a posteriori.

Ad esempio, si consideri un evento A la cui probabilità a priori, soggettiva perché espressione di convinzioni e sovente determinata da carenza di informazioni, sia P(A). Dall’esperienza (analisi di un campione) si rileva la probabilità P (intesa, in questo caso, in senso frequentista od empirico) di un certo evento B. Ci si chiede in quale modo la realizzazione dell’evento B modifichi la probabilità a priori di A, cioè qual è il valore di P(A/B) (la probabilità dell’evento A condizionato B).
(Ricordiamo che l’espressione P(A/B) indica la probabilità condizionale di A rispetto a B, cioè la probabilità dell’evento A stimata sotto la condizione che si sia realizzato l’evento B).

Per

il teorema delle probabilità composte,

applicato ad eventi non indipendenti, la probabilità che gli eventi A e B si verifichino contemporaneamente è data da:

che è la formula generale.

Teorema di Bayes

Da essa è possibile dedurre che, per k eventi reciprocamente incompatibili e collettivamente esaustivi, dove B₁, B₂, …, B₃ sono gli eventi mutuamente esclusivi, si ottiene il Teorema di Bayes:

dove
– P(B_i) è la probabilità a priori che è attribuita alla popolazione B_i prima che siano conosciuti i dati,
– P(A/B_i) rappresenta la probabilità aggiuntiva dopo che è stata misurata la probabilità di A.

Esempio

Con un esempio, è possibile presentare in modo elementare la successione logica delle stime di probabilità.

1)

Si supponga di disporre di un campione A di individui della specie Y e di chiedersi da quale delle tre località indicate (B₁, B₂, B₃) esso possa provenire.
La stima iniziale o probabilità a priori, necessaria quando non si possiede alcuna informazione, è fondata sul caso oppure su distribuzioni teoriche. In questa situazione di totale ignoranza iniziale della possibile provenienza degli individui della specie Y, la scelta più logica può essere quella di attribuire ad ognuna delle 3 località le medesime probabilità P; è una distribuzione non informativa che può essere scritta come:

P(B₁) = P(B₂) = P(B₃) = 1/3

2)

Come secondo passaggio, si supponga ora che un’analisi abbia rivelato che nelle tre diverse località(B₁, B₂, B₃) che possono esserne il luogo d’origine, questa specie sia presente con frequenze percentuali differenti, in comunità delle stesse dimensioni:
– nella prima, che indichiamo con B₁, ha una presenza del 30%
– nella seconda, indicata con B₂, una presenza del 50%
– nella terza, indicata con B₃, il 70%.

Dopo questa informazione che può essere scritta come

P(A/B1) = 0,3 P(A/B2) = 0,5 P(A/B3) = 0,7

il calcolo delle probabilità a posteriori, da attribuire ad ogni comunità, può essere attuato mediante il teorema di Bayes.

si ricava che il campione A di individui della specie Y ha
– una probabilità del 20% di provenire dalla località B₁,
– una probabilità pari al 33% di essere originario della località B₂,
– una del 47% di provenire dalla B₃.
Ovviamente i 3 eventi sono reciprocamente incompatibili e collettivamente esaustivi, per cui la somma delle probabilità è unitaria, se espressa in rapporti, o pari al 100%, se espressa in percentuale.

3)

Con una ulteriore raccolta di dati (sia soggettivi che sperimentali o frequentisti), è possibile calcolare una nuova distribuzione delle probabilità a posteriori, per inglobare le nuove informazioni ed aggiornare la stima.
Se nel conteggio del campione A, si osserva che sono presenti 10 individui di cui 8 della specie Y, come variano le probabilità che il campione A derivi rispettivamente dalla località B₁, dalla B₂ o dalla B₃?
In questa terza fase, il primo passo logico è calcolare la probabilità di trovare la distribuzione osservata nel campione (8 individui della specie Y su 10 complessivi), se fosse stato estratto casualmente da ognuna delle 3 comunità:

a – dalla comunità B₁ dove la specie Y ha una proporzione uguale a 0,3
b – dalla comunità B2 dove la specie Y ha una proporzione uguale a 0,5
c – dalla comunità B₃ dove la specie Y ha una proporzione uguale a 0,7.

Per rispondere a tale quesito, si ricorre alla distribuzione binomiale, della quale sono riportati i risultati.
a) Nel caso della comunità B₁ dove la proporzione p di individui della specie Y è 0,3:

la probabilità P che su 10 individui estratti a caso 8 siano della specie Y è uguale a 0,00145.

b) – Nel caso della comunità B₂ dove la proporzione p di individui della specie Y è 0,5

3 – Nel caso della comunità B₃ dove la proporzione p di individui della specie Y è 0,7

la probabilità P che su 10 individui estratti a caso 8 siano della specie Y è uguale a 0,23347.

Le 3 probabilità a posteriori calcolate precedentemente (0,20; 0,33; 0,47) diventano le nuove probabilità a priori. Esse devono essere moltiplicate per le probabilità empiriche fornite dalla nuova osservazione:

Sulla base delle ultime informazioni raccolte, la nuova risposta è:
– la probabilità che il campione A sia originario della comunità B₁ diventa 2 su mille (0,002),
– la probabilità che provenga dalla comunità B₂ diventa 116 per mille (0,116),
– la probabilità che sia stato raccolto nella comunità B₃ è 882 su mille (0,882).
Non esistono altre possibilità e la loro somma deve essere uguale a 1 (0,002 + 0,116 + 0,882 = 1,0).

Conclusioni

L’esempio illustra un aspetto peculiare del procedimento inferenziale bayesiano.

Con l’aumento del numero di osservazioni campionarie od empiriche, le probabilità attribuite in modo indifferenziato, o almeno simile (come 1/3 all’inizio) tendono a divergere. Il fenomeno è chiamato progressiva dominanza dell’informazione sulla distribuzione a priori.
Un altro aspetto importante è che, partendo da distribuzioni a priori notevolmente differenti (per esempio, in partenza la distribuzione poteva essere 0,1 0,2 0,7), se nessuna di esse è 0 oppure 1 con gli stessi dati sperimentali successivamente raccolti le probabilità tendono a convergere rapidamente. E’ chiamato il principio della giuria: se nessuno dei giudici è prevenuto, ritenendo l’accusato sicuramente colpevole o sicuramente innocente, dopo un numero relativamente basso di verifiche tutti giungono alle stessa probabilità, per quanto distanti siano in partenza.

L’analisi bayesiana può essere utilizzata per sommare in modo progressivo l’effetto di tutte le nuove informazioni. Ogni ulteriore indicazione quantitativa permette di aggiornare nuovamente la distribuzione originale precedente; i dati modificano le probabilità stimate inizialmente in condizioni di incertezza o dedotte da una informazione meno precisa. Le ampie possibilità operative di tale teorema derivano dal fatto che le probabilità possono essere tratte indifferentemente da dati oggettivi o da distribuzioni di opinioni, che mutano nel tempo.

Nell’esempio presentato, l’inferenza statistica bayesiana è stata applicata a percentuali o proporzioni. Ma essa può essere estesa a qualsiasi altra caratteristica della popolazione, come la media, la varianza, il coefficiente di regressione, per assegnare probabilità specifiche ad ogni possibile valore di questi parametri.

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