La distribuzione di frequenza cumulativa relativa per la profondità dei pozzi petroliferi in una determinata regione è data dalla tabella :
In tutto, ci sono 700 pozzi petroliferi nella regione.
a. Costruire la tavola della distribuzione di frequenza relativa.
b. Costruire la tavola della distribuzione di frequenza assoluta.
c. Costruire un istogramma della distribuzione di frequenza.
Soluzione
a. b.
Per ottenere le frequenze relative basta fare le differenze tra le frequenze cumulative successive, per esempio per ottenere la frequenza relativa di 300 < h < 600 bisogna calcolare 0.35 – 0.09 = 0.26, mentre per ottenere le frequenze assolute occorre moltiplicare le frequenze relative per il numero di osservazioni che in questo caso e il numero di pozzi, cioè 700.
c.
Si tratta di un istogramma con class! di ampiezza diversa:
Esercizio 2
Per ciascuna delle seguenti distribuzioni, si dica se e possibile calcolare la media e/o la mediana con un’approssimazione ragionevole, spiegando il perché.
Soluzione
Nella prima tabella le classi più ampie sono costituite da 3 voti, per cui si può calcolare sia la media che la mediana (per dati raggruppati).
In particolare per la media si ha
mentre poichè il 36° valore cade nell’ intervallo 24 – 26, un valore approssimato della mediana è 25.
Nella seconda tabella, la prima e l’ultima classe hanno ampiezza troppo grande (l’ultima ha ampiezza infinita!) quindi non é possibile calcolare la media nemmeno in modo approssimato. Viceversa, essendo i dati in numero di 65, la mediana é data dal valore del 33° dato che si trova nell’ intervallo 100 — 109, quindi potremmo prendere il valore medio 104.5 come valore approssimato della mediana.
Nella terza tabella, la prima classe ha ampiezza troppo grande, quindi non possiamo calcolare con una precisione accettabile la media. II numero dei dati è 66 quindi la mediana è compresa tra il valore del 33° e del 34° dato. Pero di entrambi i dati sappiamo solo che si trovano nella prima classe che ha ampiezza 60, quindi in questo caso non possiamo calcolare con precisione accettabile
nemmeno la mediana.
Esercizio 3
Per ciascuna delle seguenti popolazioni, si disegni un grafico della distribuzione di frequenza, la cui forma sia ragionevole in base alla natura del fenomeno, si descriva tale forma con pochi aggettivi appropriati, e si spieghi il perché delle proprie scelte:
a. Volume del liquido contenuto nelle bottiglie che escono da una macchina che le riempie automaticamente.
b. Tempo di attesa tra due telefonate successive che arrivano a un centralino piuttosto “affollato” di telefonate.
c. Punteggi (in trentesimi) totalizzati da 100 studenti in un test piuttosto facile.
d. Punteggi (in trentesimi) totalizzati da 100 studenti in un test piuttosto difficile.
e. Chilometri percorsi con un litro di benzina da una certa automobile, in tempi e situazioni diverse.
Soluzione
a.
E’ ragionevole aspettarsi una distribuzione di frequenza simmetrica, centrata sul volume di liquido che le bottiglie dovrebbero contenere.
b.
In questo caso ci aspettiamo una distribuzione concentrata a destra dello zero (non si possono avere tempi di attesa negativi).
c.
Poiché il test è piuttosto facile ci aspettiamo una concentrazione di punteggi verso l’alto con una coda verso i punteggi bassi, infatti gli studenti bravi faranno il test quasi tutto giusto, mentre gli altri avranno punteggi più differenziati.
d.
Se invece il test è piuttosto difficile, saranno gli studenti bravi ad avere i punteggi più differenziati, avremo quindi una distribuzione simmetrica rispetto alla precedente.
e.
Poiché il consumo di carburante non può scendere oltre una certa soglia, però può salire molto a seconda dell’uso che si fa dell’automobile, è ragionevole pensare che la distribuzione abbia una coda verso destra e quindi che abbia una forma simile alla distribuzione dell’esercizio precedente.
Esercizio 4
La distribuzione di frequenza degli intervalli di tempo tra due arrivi successivi di messaggi all’unità centrale di una rete time-sharing sono
come segue:
а. Si calcolino le frequenze relative e cumulative della distribuzione, e si tracci il grafico della funzione di distribuzione cumulativa.
b. Si tracci un istogramma della distribuzione di frequenza.
c. Si calcolino la media e la mediana della distribuzione.
Soluzione
a. b.
Poichè i dati sono in tutto 345, per ottenere le frequenze relative occorre dividere le frequenze assolute per 345.
La frequenza relativa cumulativa è riportata nell’ultima colonna della seguente tabella:
II grafico della funzione di distribuzione cumulativa e l’istogramma sono riportati nelle seguenti figure:
c.
Per la media si ha:
Mentre per la mediana osserviamo che il 173° dato cade nella seconda classe, per cui un valore approssimato della mediana è 7.5.
(109)