Calcolare il valore dell’integrale
Soluzione
L’integrando è una funzione continua (positiva) su [0, π/2], quindi l’integrale esiste nel senso di Riemann.
Usiamo le formule parametriche:
il metodo dei fratti semplici ci conduce a
Esercizio 2
Calcolare il seguente integrale indefinito
Soluzione
Integrando per parti otteniamo:
Integrazione per parti
Esercizio 3
Calcolare il seguente integrale definito
Soluzione
Integrando per mezzo della sostituzione t = cos x otteniamo:
Esercizio 4
Calcolare il seguente integrale definito
Soluzione
Integrando per mezzo della sostituzione t = ex (usando poi anche l’integrazione per parti):
Esercizio 5
Calcolare il seguente integrale indefinito
Soluzione
Con il cambiamento di variabile
La funzione integranda si scomporrà dunque come:
Si devono pertanto integrare:
Esercizio 6
Calcolare il seguente integrale
————-
Soluzione
Per x ∈ [π/4, π/3] si ha 1 ≤ tg x ≤√3
dunque la funzione integranda è continua e l’integrale è definito.
Procediamo per sostituzione mediante la seguente sostituzione:
Questo integrale si può calcolare per parti come segue:
l’ultimo integrale è un integrale improprio, che può essere calcolato come:
Gli integrali impropri
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