Che cosa è un paradosso?

La parola paradosso assume almeno tre significati:

a) una contraddizione (si parla, in questo senso, anche di antinomia);
b) un’affermazione che sembra molto strana, che è in contrasto con le nostre aspettative, ma in realtà è corretta; 
c) un ragionamento che sembra impeccabile, ma contiene un errore e porta ad una conclusione assurda.

Alcuni esempi di paradosso

Caso a)

Paradosso di Cantor (1895)

Per un teorema dello stesso Cantor, l’insieme delle parti P(A) di un qualunque insieme A, cioè l’insieme di tutti i sottoinsiemi di  A, ha cardinalità maggiore di quella di A.

In termini intuitivi, un qualsiasi insieme ha un “maggior numero” di sottoinsiemi che di elementi.
Ora, sia U l’insieme di tutti gli insiemi, cioè poniamo  U ={ X ∣X è un insieme } (la scrittura e lecita per il principio di comprensione). Il paradosso nasce perchè:

da un lato, designata con Card(U) la cardinalità di un insieme U, per il teorema citato, si ha Card(U) < Card P(U), dall’altro Card(U)⩾Card(P(U) in quanto U e l’insieme di tutti gli insiemi e, quindi, contiene un qualunque insieme, anche P(U).

Paradosso di Russell(1902)

Da un punto di vista storico, questo paradosso ebbe maggiore influenza del precedente, perchè non c’ èa lcun riferimento a concetti particolari come l’insieme delle parti o la cardinalità.
Si parte dall’insieme R = { X ∣ X ∉ X }, cioè dall’insieme che ha per elementi tutti e soli gli insiemi che non appartengono a sè stessi. A questo punto, la definizione di R equivale a dire:
per ogni insieme X, si ha X ∈ R se e soltanto se X ∉ X.
Quest’ultima affermazione vale per ogni X. Ma se consideriamo il caso particolare X = R, troviamo una contraddizione:
R ∈ R se e soltanto se R ∉ R.

Il paradosso del barbiere

Sono state proposte numerose varianti del paradosso di Russell. La piu celebre è il cosiddetto paradosso del barbiere.

In un villaggio cè un unico barbiere (maschio) che ha ricevuto il seguente ordine: “devi radere tutti e soli quelli che non radono se stessi”. La domanda è: chi rade il barbiere? Se il barbiere si rade da solo, allora non può radersi; ma se non si rade, allora deve radersi.

I paradossi di Russell o di Cantor  rientrano nel caso a. Se una teoria contiene un paradosso di questo tipo, allora la teoria va corretta, o addirittura abbandonata.

Il paradosso di Zenone

In un certo senso, rientrano in questo primo caso anche i paradossi di Zenone. Almeno nelle intenzioni di Zenone, si trattava di mettere in discussione l’idea di movimento e la possibilità di descrivere un movimento in termini matematici:
secondo Zenone, le applicazioni della matematica ai concetti di spazio e tempo rischiano di portarci in contraddizione. Queste contraddizioni appaiono oggi meno convincenti, ma e stato necessario precisare concetti e strumenti matematici, in particolare ammettendo che in certi casi una somma di infiniti termini positivi è finita.

Approfondimento

Il celebre paradosso di Achille e la Tartaruga è indubbiamente utile per introdurre le serie. Qualche volta, tuttavia, si aggiunge che il paradosso nasce perchè Zenone non conosceva le serie; il che è scorretto sul piano storico e filosofico. Senza entrare in delicate questioni critiche sulle intenzioni di Zenone, limitiamoci alla matematica e alla fisica. Per spiegare il paradosso con le serie, occorre accettare intervalli di tempo e di spazio sempre più piccoli, il che non è scontato; poi, per affermare che  la successione delle somme parziali, monotona e limitata, ammette limite, occorre accettare anche la completezza; e nemmeno questa e scontata. La domanda che allora si pone è: la matematica è adatta per uno studio dello spazio e del tempo? Oggi tutti accettano una risposta affermativa, ma sono necessarie molte precisazioni; ad esempio, se la struttura del mondo è atomica (nel senso che esistono particelle non ulteriormente scomponibili), l’insieme R dei reali non consente una descrizione fedele della realtà.

Etimologia di paradosso

Da un punto di vista etimologico, il significato b e il più appropriato: la parola paradosso deriva dal greco

che significa oltre, al di là dell’opinione.
In questa accezione, si tratta di un fatto sorprendente, inatteso, contrario all’opinione corrente.

Vale la pena di riportare una spiegazione che risale a Cicerone:

“quae sunt mirabilia contraque opinionem omnium”

(cose mirabili e contrarie all’opinione di tutti).

In un senso del tutto analogo, si parla di paradossi in fisica, come il paradosso idrostatico e i paradossi della relatività: fatti reali, che tuttavia non ci aspettiamo, perchè contrastano con il senso comune.

Esaminiamo ora uno dei paradossi matematici più conosciuti.

Appartiene al caso c che è l’accezione più banale, ma ha un’utilità didattica, perchè incuriosisce e suggerisce cautela nell’attività matematica.

Sia data l’uguaglianza a = −b.

Con semplici passaggi, troviamo successivamente:

a² = b²;

a² −a = b² +b (sottraendo membro a membro le due uguaglianze);
a² − b² = a + b;

(a − b)(a + b) = a + b;

a − b = 1.

Tenendo conto dell’uguaglianza iniziale, concludiamo 2a = 1.

Quindi a = 1/2, mentre non abbiamo a priori alcuna informazione su a.

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