La Trigonometria

Il protagonista indiscusso della goniometria e della trigonometria è l’angolo, l’ente geometrico individuato da una coppia di semirette aventi al stessa origine.

COME SI MISURA UN ANGOLO

La nozione più comune di misura di un angolo è legato al concetto di grado, una misura sessagesimale (cioè, in base 60), la quale stabilisce che la misura di un angolo giro è di 360^∘ e lo suddivide in 360 angoli congruenti.

Un’altra unità di misura è il radiante, la quale mette in relazione la misura dell’angolo con il rapporto tra il raggio di una circonferenza e la lunghezza dell’arco di circonferenza individuato dall’angolo stesso. Un angolo misura quindi un radiante (e si scrive che l’angolo misura 1 rad ) se il rapporto tra la misura dell’arco di circonferenza l da esso individuato e il raggio della circonferenza r è pari a 1:

un angolo misura 1 rad  ⇔ l /r = 1

Si può così comprendere che un angolo giro misura 2 π rad, in quanto la lunghezza di una circonferenza di raggio r è pari a 2π r.

Potremo quindi dire che:

• L’unità radiante è uguale all’arco che, rettificato, risulti uguale al raggio;
• La misura in radianti dell’arco giro sarà:

arco giro in radianti  = 2πr/r = 2π unità radianti;

• esiste la proporzione:

 α : 2π = α°: 360°

ESEMPIO:

Calcolare la misura in radianti dell’unità grado:

 α : 2π =1°: 360° 

avremo:

α = π/ 180° = 0,0174……




ESEMPIO:

Calcolare la misura in radianti dell’unità radianti:

 1 : π =α°: 180° 

avremo:

α° =  180° /π = 57°17’44”,32…..

Circonferenza goniometrica.

Con riferimento ad un sistema di assi cartesiani ortogonali si conviene quanto segue:

A) Per circonferenza goniometrica si intende una circonferenza con centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e avente come raggio pari all’unità.

B) La circonferenza goniometrica risulterà divisa, dagli assi cartesiani, in quattro quadranti numerati in senso antiorario.

La corrispondenza fra angoli ed archi sara’:

Oltre i 360° i punti della circonferenza tornano su se stessi; quindi diciamo che i valori sulla circonferenza sono periodici di periodo 360° come se la circonferenza fosse una spirale i cui bracci vanno esattamente sui bracci precedenti. Quindi ad esempio se hai 480° dovrai dire: 480° = 480° – 360° = 120°.
Cioe’ tutti gli angoli dovranno essere riportati al primo giro della circonferenza: se l’angolo e’ superiore a 360° dovrai togliere 360° una volta, due volte, tre volte,… finche’ il risultato sia un angolo inferiore a 360°.

Esempio

se devo considerare l’angolo di 1520°
1520° = 1520°-360° = 1160° = 1160°-360°=800°=800°-360°=440°=440° – 360°=80°
considero l’angolo di 80°.

(60)