Troviamo l’estremo superiore. Esercizi svolti

Richiami di teoria

Insiemi limitati – illimitati

Un insieme numerico A ⊂ R si dice limitato superiormente (inferiormente) se

Il numero k ( h ) viene detto maggiorante ( minorante ) di A.
Un insieme che è limitato sia superiormente che inferiormente si dice limitato.
Un insieme che non ammette maggiorante (minorante) si dice illimitato superiormente (inferiormente).
Un insieme che non ammette né maggiorante, né minorante si dice illimitato.

Osservazioni:
– un insieme limitato superiormente (inferiormente) ha infiniti maggioranti (minoranti).
– un insieme non limitato superiormente (inferiormente) non può avere maggioranti (minoranti).

Estremo superiore – estremo inferiore

Teorema

Se A è un insieme numerico non vuoto e limitato superiormente (inferiormente), allora esiste il minore dei maggioranti (maggiore dei minoranti) e si chiama estremo superiore E_sup (estremo inferiore E_inf).

L’estremo superiore E_sup (inferiore E_inf) gode delle seguenti proprietà:

La proprietà a) esprime che E_sup (E_inf) è un maggiorante (minorante) per A, la proprietà b) esprime che nessun numero minore di E_sup, come Es_up – ε, (maggiore di E_inf , come Einf + ε ) è un maggiorante (minorante) per A, cioè dice che E_sup è il minore dei maggioranti (E_inf maggiore dei minoranti).

Teorema

Se l’ insieme A⊂ R è non vuoto e limitato inferiormente (superiormente), allora l’estremo inferiore (superiore) è unico.

Osserva che,
– per definizione, se l’insieme A non è limitato superiormente (inferiormente), si indica con + ∞ l’estremo superiore ( – ∞ l’estremo inferiore);
– ogni insieme non vuoto di numeri reali ammette uno e un solo estremo superiore E_sup , finito o + ∞, (estremo inferiore E_inf , finito o -∞) ed è sempre E_inf < E_sup .

Massimo e minimo

Se l’insieme A ha estremo superiore (inferiore) e questo appartiene all’insieme A, esso è il massimo (minimo) dell’insieme A, quindi:
un elemento M (m) ∈ A ⊂ R si dice massimo (minimo) dell’insieme A se:

E’ evidente che ogni insieme numerico non può avere più di un massimo o più di un minimo.

Esempio

Consideriamo il seguente insieme A :

L’elemento 1 è estremo inferiore e minimo.
L’elemento 5 è estremo superiore e massimo.

Esempio

Consideriamo il seguente insieme A :

Esempio

Z, Q ed R sono insiemi illimitati sia inferiormente che superiormente, quindi non hanno minoranti – maggioranti, minimo – massimo e per definizione E_sup= +∞, E_inf = – ∞ .

N è limitato inferiormente e illimitato superiormente; 0 è il maggiore dei minoranti, è l’estremo inferiore ed è il minimo.

Esempio

L’insieme

è illimitato inferiormente e limitato superiormente; 1 è il minore dei maggioranti, è l’estremo superiore, ma non il massimo; A non ha massimo.

Esempio

L’insieme

è limitato (sia inferiormente che superiormente); 1 è il maggiore dei minoranti, è l’estremo inferiore, ma non è il minimo; 50 è il minore dei maggioranti, è l’estremo superiore, ma non è il massimo; A non ha né minimo, né massimo.

Esempio

2 è uno degli infiniti maggioranti,
-1 è uno degli infiniti minoranti;
1 è il minore dei maggioranti, è l’estremo superiore ed è il massimo;
0 è il maggiore dei minoranti, è l’estremo inferiore, ma non è il minimo.
L’insieme A è limitato, ha massimo (M=1), ma non ha minimo.

Esercizio 1

Sia:

Dire se l’insieme è limitato o illimitato.

Soluzione

L’ insieme è limitato inferiormente essendo composto da elementi non negativi. Quindi 0 è un minorante. Inoltre 0 ∈ A, quindi min A = 0.
L’ insieme non è però limitato superiormente, come si può facilmente verificare:

∀M > 0 arbitrariamente grande ∃x ∈ A: x > M

Quindi sup A = +∞.

Esercizio 2

Sia:

Dire se l’insieme è limitato o illimitato.

Soluzione

L’insieme non è limitato nè inferiormente nè superiormente, poichè il termine (−1)ⁿn diverge a +∞ se n è pari e a −∞ se n è dispari.

Esercizio 3

Sia:

Dire se l’insieme è limitato o illimitato.

Soluzione

L’ insieme è limitato inferiormente da −2, che è anche un minimo (lo si ottiene per n = 1).

La frazione

ha un andamento decrescente da n = 4 in poi e si avvicina sempre di più a zero. A questo punto si deve considerare l’ unione con l’intervallo (−1, 1), per cui sup C = 1.

Esercizio 4

Calcolare:

Soluzione

Possiamo ridurci a considerare solo il caso x, y ≥ 0 per motivi di simmetria.
Dobbiamo considerare le rette della forma

x + y = c , c > 0 .

Il sup cercato sarà l’estremo superiore dei c tali che la retta interseca il cerchio

{x² + y² < R²}.

Dato che l’intersezione è non vuota se e solo se

0 < c < √2R

il sup cercato vale √2R.

 

Esercizio 5

Calcolare:

Soluzione

Dato che l’insieme è formato da numeri positivi, l’estremo inferiore sarà non negativo.

Usando la disuguaglianza triangolare si ottiene

Per la proprietà archimedea dei numeri reali, segue subito che, per ogni prefissato ε > 0 si possono trovare m, n ∈ N \ 0 tali che

Dunque esistono m, n ∈ N \ 0 tali che

Dall’arbitrarietà di ε, e per la nota caratterizzazione dell’estremo inferiore, segue che l’inf cercato vale zero.

 

 

La proprietà di Archimede

Teorema

Siano a e b due numeri reali > 0. Allora esiste un numero naturale n > 0 tale che n · a > b.

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